Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^(2 t)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial utilizando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo principal aqui é sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e, especificamente, a aplicação desse método para encontrar uma solução particular. Para resolver, precisaremos encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
Isso envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é:
Resolvendo esta equação quadrática para .

Passo 4

Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma exponencial do tipo , vamos supor uma solução particular da forma:
onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

Calculando as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes dos termos :

Resposta

A solução particular é:

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