Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
utilizando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo principal aqui é sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e, especificamente, a aplicação desse método para encontrar uma solução particular. Para resolver, precisaremos encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
Isso envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é:
Resolvendo esta equação quadrática para
.
Passo 4
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma exponencial do tipo
, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes dos termos
:
Resposta
A solução particular é:
Exercícios relacionados
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
limitado por baixo pelo plano
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o valor de
.
Resolva o problema de valor inicial
para uma função
arbitrária.
Seja
uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de
at é
e a de
at é
mostre que a transformada de Laplace de
at é