Prove por indução matemática que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A parada aqui é provar, usando indução matemática, que se a gente tem várias funções
que tendem a certos limites conforme
se aproxima de
, e temos uma constante
, então a soma ou subtração dessas funções mais a constante também vai ter um limite que é a soma ou subtração dos limites individuais. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como usar a indução matemática pra provar que isso vale pra qualquer número de funções
.
Passo 2
Vamos começar com o caso base da nossa indução. Ou seja, vamos ver se a afirmação funciona quando
.
Quando
, temos apenas uma função
e uma constante
. Segundo o enunciado, sabemos que:
Então, queremos provar que:
Isso é direto! Porque sabemos que o limite de uma função mais uma constante é o limite da função mais essa constante. Então, o caso base está valendo.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação �� verdadeira para algum número
. Isso é a hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se funciona para
, também funciona para
. Ou seja, queremos provar que:
Vamos separar a expressão:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
E também sabemos que:
Agora, usamos a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites (desde que existam). Portanto:
Isso confirma que a afirmação vale para
.
Resposta
Como mostramos que a afirmação é verdadeira para
e que se é válida para
então também é para
, por indução matemática, concluímos que:
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Resolva os limites abaixo:
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Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o valor de
.