Prove por indução matemática que se lim x a f1(x)=L1, lim x a f2(x)=L2, K, e lim x a fn(x)=Ln, então lim x a[f1(x) pm f2(x) pm K pm fn(x)]=L1 pm L2 pm K pm Ln.

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A parada aqui é provar, usando indução matemática, que se a gente tem várias funções que tendem a certos limites conforme se aproxima de , e temos uma constante , então a soma ou subtração dessas funções mais a constante também vai ter um limite que é a soma ou subtração dos limites individuais. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como usar a indução matemática pra provar que isso vale pra qualquer número de funções .

Passo 2

Vamos começar com o caso base da nossa indução. Ou seja, vamos ver se a afirmação funciona quando limx a f1(x) = L1 .
Quando limx a [f1(x) pm K] = L1 pm K , temos apenas uma função e uma constante . Segundo o enunciado, sabemos que:
Então, queremos provar que:
Isso é direto! Porque sabemos que o limite de uma função mais uma constante é o limite da função mais essa constante. Então, o caso base está valendo.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação �� verdadeira para algum número limx a [ f1(x) pm f2(x) pm cdots pm fk(x) pm K ] = L1 pm L2 pm cdots pm Lk pm K . Isso é a hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se funciona para limx a [ f1(x) pm f2(x) pm cdots pm fk(x) pm fk+1(x) pm K ] = L1 pm L2 pm cdots pm Lk pm Lk+1 pm K , também funciona para limx a [ ( f1(x) pm f2(x) pm cdots pm fk(x) pm K ) pm fk+1(x) ] . Ou seja, queremos provar que:
limx a [ f1(x) pm f2(x) pm cdots pm fk(x) pm K ] = L1 pm L2 pm cdots pm Lk pm K
Vamos separar a expressão:
limx a fk+1(x) = Lk+1
Pela hipótese de indução, sabemos que:
limx a [ ( f1(x) pm f2(x) pm cdots pm fk(x) pm K ) pm fk+1(x) ] = ( L1 pm L2 pm cdots pm Lk pm K ) pm Lk+1
E também sabemos que:
Agora, usamos a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites (desde que existam). Portanto:
Isso confirma que a afirmação vale para .

Resposta

Como mostramos que a afirmação é verdadeira para limx a[f1(x) pm f2(x) pm K pm fn(x)] = L1 pm L2 pm K pm Ln e que se é válida para então também é para , por indução matemática, concluímos que:

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