Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
f(x) = x / (1 + 4 x)^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, lembramos da série geométrica básica:
Essa série converge quando . No nosso caso, queremos adaptar essa fórmula para a função .

Passo 3

Observamos que é a derivada da série geométrica. Sabemos que:
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos a série por para obter a representação da função :

Passo 5

Podemos ajustar o índice da soma para simplificar a expressão. Reescrevendo a série:
Para uma notação mais clara, mantemos:

Passo 6

Agora, determinamos o raio de convergência da série. Sabemos que para a série geométrica , a convergência ocorre quando . No nosso caso, , então:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
O raio de convergência dessa série é .

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