Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, lembramos da série geométrica básica:
Essa série converge quando
. No nosso caso, queremos adaptar essa fórmula para a função
.
Passo 3
Observamos que
é a derivada da série geométrica. Sabemos que:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos a série por
para obter a representação da função
:
Passo 5
Podemos ajustar o índice da soma para simplificar a expressão. Reescrevendo a série:
Para uma notação mais clara, mantemos:
Passo 6
Agora, determinamos o raio de convergência da série. Sabemos que para a série geométrica
, a convergência ocorre quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
O raio de convergência dessa série é
.