Considere a integral .
Esboce a região no plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região no plano que está definida pela integral dupla . Isso envolve entender os limites de integração para descobrir como é essa região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A integral está estruturada assim:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de , varia de a 4.
Isso significa que é o conjunto de pontos onde e .

Passo 3

Agora, vamos analisar as curvas que definem esses limites. A curva é uma parábola que abre para cima. Para entre 0 e 2, essa parábola começa no ponto e vai até .

Passo 4

A outra curva é , que é uma linha horizontal constante. Essa linha corta a parábola no ponto onde , ou seja, em . Portanto, a linha vai de até .

Passo 5

Com isso, a região fica entre a parábola de baixo e a linha de cima, limitado à área onde vai de 0 a 2. Visualmente, é uma espécie de “faixa” que começa na origem, se estende até e é limitada pela parábola e pela linha horizontal.

Resposta

A região no plano é a área compreendida entre a parábola e a linha horizontal , para valores de variando de 0 a 2. Ou seja, é o conjunto de todos os pontos onde e .

Exercícios relacionados

Considere a região plana delimitada pela parábola de equação e a reta de equação .
Escreva (sem calcular!) a integral dupla como integral dupla iterada nas ordens e .
Considere o sólido limitado pelo cilindro e os planos e . Expresse (sem calcular!) o volume de com uma integral dupla iterada nas ordens e e .
Considere a integral .
Escreva como integral dupla iterada na ordem .
Considere a integral .
Calcule o valor de (sugestão use a ordem ).