Considere o sólido limitado pelo cilindro e os planos e . Expresse (sem calcular!) o volume de com uma integral dupla iterada nas ordens e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar, sem calcular, o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e dois planos. A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes usando integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração em coordenadas cartesianas e como configurar a integral dupla nas duas ordens: e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . O cilindro é dado por , que é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo . Os planos que limitam o sólido são e . O plano é simplesmente o plano , e inclina-se sobre ele.
Como queremos o volume entre e , podemos expressar em termos de : .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para encontrar o volume. O volume pode ser expresso como:
Onde é a projeção do sólido no plano , que é o interior do cilindro .
Vamos agora expressar essa integral nas duas ordens solicitadas.

Passo 4

Ordem :
Para essa ordem, primeiro integramos em e depois em . Dentro do círculo , para um valor fixo de , varia de a . E varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Ordem :
Agora, integramos primeiro em e depois em . Para um valor fixo de , varia de a . E varia de a .
A integral fica:

Resposta

O volume do sólido pode ser expresso como as seguintes integrais duplas iteradas:
Ordem :
Ordem :

Exercícios relacionados

Considere a região plana delimitada pela parábola de equação e a reta de equação .
Esboce a região no plano .
Encontre a série binomial para a função:
Considere a região plana delimitada pela parábola de equação e a reta de equação .
Escreva (sem calcular!) a integral dupla como integral dupla iterada nas ordens e .
Considere a integral .
Esboce a região no plano .