Considere o sólido
limitado pelo cilindro
e os planos
e
. Expresse (sem calcular!) o volume de
com uma integral dupla iterada nas ordens e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar, sem calcular, o volume de um sólido
que está limitado por um cilindro e dois planos. A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes usando integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração em coordenadas cartesianas e como configurar a integral dupla nas duas ordens:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido
. O cilindro é dado por
, que é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo
. Os planos que limitam o sólido são
e
. O plano
é simplesmente o plano
, e
inclina-se sobre ele.
Como queremos o volume entre
e
, podemos expressar
em termos de
:
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para encontrar o volume. O volume
pode ser expresso como:
Onde
é a projeção do sólido no plano
, que é o interior do cilindro
.
Vamos agora expressar essa integral nas duas ordens solicitadas.
Passo 4
Ordem
:
Para essa ordem, primeiro integramos em
e depois em
. Dentro do círculo
, para um valor fixo de
,
varia de
a
. E
varia de
a
.
Então, a integral fica:
Passo 5
Ordem
:
Agora, integramos primeiro em
e depois em
. Para um valor fixo de
,
varia de
a
. E
varia de
a
.
A integral fica:
Resposta
O volume do sólido
pode ser expresso como as seguintes integrais duplas iteradas:
Ordem
:
Ordem
:
Exercícios relacionados
Considere a região plana
delimitada pela parábola de equação
e a reta de equação
.
Esboce a região no plano
.
Esboce a região
Encontre a série binomial para a função:
Considere a região plana
delimitada pela parábola de equação
e a reta de equação
.
Escreva (sem calcular!) a integral dupla como integral dupla iterada nas ordens
e
.
Escreva (sem calcular!) a integral dupla
Considere a integral
.
Esboce a região no plano
.
Esboce a região