Considere a integral
.
Calcule o valor de
(sugestão use a ordem
).
Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e aplicar algumas técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. O enunciado nos dá os limites de integração já na ordem
:
Mas a sugestão é mudarmos a ordem para
. Para isso, precisamos reescrever os limites.
Passo 3
Vamos desenhar ou imaginar o gráfico para identificar os novos limites. Para
de
a
e
de
a
, observamos que:
-
varia de a (já que no mínimo é 0 e no máximo quando é 4). - Para cada
fixo, varia de até (pois implica ).
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral com a ordem trocada:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar para fora:
Passo 6
Calculando a integral de
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Então, a integral fica:
Passo 8
Para resolver
, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
ou
.
Passo 9
Substituindo na integral:
Passo 10
Calculando a integral de
:
Portanto,
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a integral
.
Escreva como integral dupla iterada na ordem
.
Escreva
Considere a integral
.
Esboce a região no plano
.
Esboce a região
Expresse
como uma integral dupla iterada com a ordem de integração invertida.
Considere a região plana
situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de equação
, pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Escreva (sem calcular!) a integral dupla
como integral dupla iterada nas ordens
e
.