Considere a integral I=integral duplaR 2 x sen(y^2) d A=integral0^2 integralx^2^4 2 x sen(y^2) d y d x.
Calcule o valor de I (sugestão use a ordem d x d y ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e aplicar algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região x vai de 0 até 2, y vai de x^2 até 4 onde vamos integrar. O enunciado nos dá os limites de integração já na ordem :
éé
Mas a sugestão é mudarmos a ordem para . Para isso, precisamos reescrever os limites.

Passo 3

Vamos desenhar ou imaginar o gráfico para identificar os novos limites. Para de a e de a , observamos que:
  • varia de a (já que no mínimo é 0 e no máximo quando é 4).
  • Para cada fixo, varia de até (pois implica ).

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a ordem trocada:
I = integral0^4 integral0^raizy 2x sin(y^2) , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raizy 2x sin(y^2) , dx :
2 sin(y^2) integral0^raizy x , dx
Como é constante em relação a , podemos tirar para fora:

Passo 6

Calculando a integral de integral0^raizy x , dx = [ x^22 ]0^raizy = (raizy)^22 - 0 = y2 :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
2 sin(y^2) cdot y2 = y sin(y^2)
Então, a integral fica:
I = integral0^4 y sin(y^2) , dy

Passo 8

Para resolver , fazemos uma substituição simples:
Seja , então ou .

Passo 9

Substituindo na integral:
I = integralu=0^u=16 12 sin(u) , du = 12 integral0^16 sin(u) , du

Passo 10

Calculando a integral de integral sin(u) , du = -cos(u) + C :
I = 12 [ -cos(u) ]0^16 = 12 ( -cos(16) + cos(0) )
Portanto,

Resposta

I = 12 ( 1 - cos(16) )

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