Considere a integral .
Calcule o valor de (sugestão use a ordem ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e aplicar algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O enunciado nos dá os limites de integração já na ordem :
éé
Mas a sugestão é mudarmos a ordem para . Para isso, precisamos reescrever os limites.

Passo 3

Vamos desenhar ou imaginar o gráfico para identificar os novos limites. Para de a e de a , observamos que:
  • varia de a (já que no mínimo é 0 e no máximo quando é 4).
  • Para cada fixo, varia de até (pois implica ).

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a ordem trocada:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Como é constante em relação a , podemos tirar para fora:

Passo 6

Calculando a integral de :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Então, a integral fica:

Passo 8

Para resolver , fazemos uma substituição simples:
Seja , então ou .

Passo 9

Substituindo na integral:

Passo 10

Calculando a integral de :
Portanto,

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a integral .
Escreva como integral dupla iterada na ordem .
Considere a integral .
Esboce a região no plano .
Expresse como uma integral dupla iterada com a ordem de integração invertida.
Considere a região plana situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de equação , pelo eixo e pelas retas de equações e . Escreva (sem calcular!) a integral dupla como integral dupla iterada nas ordens e .