Considere a região plana
delimitada pela parábola de equação
e a reta de equação
.
Escreva (sem calcular!) a integral dupla
como integral dupla iterada nas ordens
e
.
Escreva (sem calcular!) a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever, sem calcular, a integral dupla sobre a região
delimitada pela parábola
e pela reta
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas e como configurar os limites de integração para diferentes ordens de integração. Vamos precisar entender onde as curvas se interceptam para definir a região
e escolher a ordem correta de integração, seja
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola
e a reta
. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos ajudará a determinar os limites de integração para
e
.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Agora, vamos fatorar essa equação quadrática:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
substituindo na equação da reta. Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Com os pontos de interseção, podemos visualizar a região
. A parábola
está abaixo da reta
entre
e
. Isso nos ajudará a definir os limites de integração para as duas ordens.
Passo 6
Vamos primeiro escrever a integral dupla na ordem
.
Para essa ordem, fixamos
e integramos em
. Precisamos expressar
em função de
.
A partir da parábola:
E da reta:
Os limites de
vão de
até
.
Então, a integral na ordem
fica:
Passo 7
Agora, vamos escrever a integral dupla na ordem
.
Para essa ordem, fixamos
e integramos em
. Precisamos expressar
em função de
.
A partir da parábola e da reta, os limites de
para cada
estão entre a parábola e a reta.
Então, os limites de
vão de
até
.
A integral na ordem
fica:
Resposta
As integrais duplas iteradas sobre a região
são:
e