Considere a região plana R delimitada pela parábola de equação y=x^2-4 e a reta de equação y=-2 x-1.
Escreva (sem calcular!) a integral dupla integral duplaR f(x, y) d A como integral dupla iterada nas ordens d x d y e d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever, sem calcular, a integral dupla sobre a região delimitada pela parábola e pela reta . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas e como configurar os limites de integração para diferentes ordens de integração. Vamos precisar entender onde as curvas se interceptam para definir a região e escolher a ordem correta de integração, seja ou .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola x^2 - 4 = -2x - 1 e a reta . Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos ajudará a determinar os limites de integração para e .

Passo 3

Resolvendo a equação x^2 + 2x - 3 = 0 :
(x + 3)(x - 1) = 0
Agora, vamos fatorar essa equação quadrática:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Agora que temos os valores de y = -2(-3) - 1 = 6 - 1 = 5 , vamos encontrar os correspondentes valores de y = -2(1) - 1 = -2 - 1 = -3 substituindo na equação da reta. Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Com os pontos de interseção, podemos visualizar a região . A parábola está abaixo da reta entre e . Isso nos ajudará a definir os limites de integração para as duas ordens.

Passo 6

Vamos primeiro escrever a integral dupla na ordem y = x^2 - 4 implies x = raizy + 4 e x = -raizy + 4 .
Para essa ordem, fixamos y = -2x - 1 implies x = -y - 12 e integramos em integral duplaR f(x, y) , dA = integraly=-3^5 integralx=-raizy + 4^-y - 12 f(x, y) , dx, dy . Precisamos expressar em função de .
A partir da parábola:
E da reta:
Os limites de vão de até .
Então, a integral na ordem fica:

Passo 7

Agora, vamos escrever a integral dupla na ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integralx=-3^1 integraly= x^2 - 4^-2x - 1 f(x, y) , dy, dx .
Para essa ordem, fixamos e integramos em . Precisamos expressar em função de .
A partir da parábola e da reta, os limites de para cada estão entre a parábola e a reta.
Então, os limites de vão de até .
A integral na ordem fica:

Resposta

As integrais duplas iteradas sobre a região integral duplaR f(x, y) , dA = integraly=-3^5 integralx=-raizy + 4^-y - 12 f(x, y) , dx, dy são:
integral duplaR f(x, y) , dA = integralx=-3^1 integraly= x^2 - 4^-2x - 1 f(x, y) , dy, dx
e

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