Considere a integral
.
Escreva
como integral dupla iterada na ordem
.
Escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever a integral dupla na ordem
. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos inverter a ordem das integrações. Para fazer isso, precisamos entender a região
onde estamos integrando e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais da integral. Temos:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de a 4.
Então, a região
está delimitada por
entre 0 e 2, e
entre a parábola
e a reta
.
Passo 3
Para inverter a ordem das integrações, precisamos expressar os limites de
em termos de
. Observando a região
:
-
varia do menor valor na parábola até o valor da reta, ou seja, de 0 a 4. - Para cada
, varia de 0 até a raiz quadrada de , já que implica .
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida. Assim,
será o primeiro a ser integrado, variando de 0 a 4, e para cada
,
variará de 0 a
.
Passo 5
Então, a integral
na ordem
fica:
Resposta
A integral
escrita na ordem
é:
Exercícios relacionados
Considere a integral
.
Esboce a região no plano
.
Esboce a região
Considere a região plana
delimitada pela parábola de equação
e a reta de equação
.
Escreva (sem calcular!) a integral dupla como integral dupla iterada nas ordens
e
.
Escreva (sem calcular!) a integral dupla
Considere a integral
.
Calcule o valor de (sugestão use a ordem
).
Calcule o valor de
Expresse
como uma integral dupla iterada com a ordem de integração invertida.