Expresse integral0^2 integral2 x^4 f(x, y) d y d x como uma integral dupla iterada com a ordem de integração invertida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A parada aqui é mudar a ordem de integração da integral dupla integral0^2 integral2 x^4 f(x, y) , dy , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente das integrais duplas. Para resolver, a gente precisa entender a região de integração e reorganizar os limites de forma que a gente integre primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. Temos x variando de 0 a 2. Para cada valor de x, y varia de 2x até 4. Isso significa que a região está delimitada pela linha y = 2x e pela linha horizontal y = 4, com x entre 0 e 2.

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em termos de y. Observando a linha y = 2x, podemos resolver para x: x = y2. Como y vai de 0 a 4, para cada y, x vai de 0 até y2.

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^4 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy

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