Considere a integral
. A integral
calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, temos a integral
. A pergunta é: essa integral calcula a área da região de integração? Para responder, vamos usar conceitos de cálculo integral relacionados ao cálculo de áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral definida, como essa, pode representar a área entre a curva
e o eixo
no intervalo de
a
. No entanto, é importante notar que a integral calcula a área líquida, ou seja, leva em conta as áreas acima e abaixo do eixo
.
Passo 3
Vamos verificar o comportamento da função
nesse intervalo. Calculando
para
e
:
- Para
: - Para
:
Então, a função é positiva entre
e
(onde
), e negativa entre
e
.
Passo 4
Para calcular a área total, precisamos considerar as áreas acima e abaixo do eixo
separadamente e somá-las:
- Área acima do eixo
: - Área abaixo do eixo
:
Passo 5
Calculando essas integrais:
Passo 6
Somando as duas áreas:
Resposta
Sim, a integral
calcula a área da região de integração, que é igual a
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a área delimitada pelas curvas
e
.
Mostre que, para
inteiro positivo,
.
(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função diferença
é uma função constante?
Determine o valor da integral
.