Considere a integral . A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, temos a integral . A pergunta é: essa integral calcula a área da região de integração? Para responder, vamos usar conceitos de cálculo integral relacionados ao cálculo de áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral definida, como essa, pode representar a área entre a curva e o eixo no intervalo de a . No entanto, é importante notar que a integral calcula a área líquida, ou seja, leva em conta as áreas acima e abaixo do eixo .

Passo 3

Vamos verificar o comportamento da função nesse intervalo. Calculando para e :
  • Para :
  • Para :
Então, a função é positiva entre e (onde ), e negativa entre e .

Passo 4

Para calcular a área total, precisamos considerar as áreas acima e abaixo do eixo separadamente e somá-las:
  • Área acima do eixo :
  • Área abaixo do eixo :

Passo 5

Calculando essas integrais:

Passo 6

Somando as duas áreas:

Resposta

Sim, a integral calcula a área da região de integração, que é igual a unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule a área delimitada pelas curvas e .
Mostre que, para inteiro positivo, .
(ENADE) Considerando a função definida por , é correto afirmar que a função diferença é uma função constante?
Determine o valor da integral .