Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região no primeiro octante limitado pelo cilindro e os planos , e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A pergunta pede para integrar a função sobre uma região que está no primeiro octante. Essa região é limitada pelo cilindro e pelos planos , e . Então, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . O primeiro octante significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. O cilindro é um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo .

Passo 3

Os planos que limitam a região são:
  • : este é um plano inclinado onde é igual a .
  • : este é o plano , ou seja, o eixo onde é zero.
  • : este é o plano , onde é zero.

Passo 4

Vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em , depois em , e por último em . Isso significa que nossos limites de integração dependerão de como , e estão relacionados na região .

Passo 5

Vamos determinar os limites para cada variável:
  • Para : como estamos no primeiro octante e limitado por e , vai de 0 a .
  • Para : olhando o cilindro , no primeiro octante, vai de 0 a 3.
  • Para : para cada , vai de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral tripla. A função que vamos integrar é , então nossa integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 8

Substituindo isso na integral, temos:

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 10

Agora, nossa integral ficou:

Passo 11

Vamos resolver essa última integral:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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