Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada:
é a região no primeiro octante limitado pelo cilindro
e os planos
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A pergunta pede para integrar a função
sobre uma região
que está no primeiro octante. Essa região é limitada pelo cilindro
e pelos planos
,
e
. Então, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. O primeiro octante significa que
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. O cilindro
é um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo
.
Passo 3
Os planos que limitam a região são:
-
: este é um plano inclinado onde é igual a . -
: este é o plano , ou seja, o eixo onde é zero. -
: este é o plano , onde é zero.
Passo 4
Vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em
, depois em
, e por último em
. Isso significa que nossos limites de integração dependerão de como
,
e
estão relacionados na região
.
Passo 5
Vamos determinar os limites para cada variável:
- Para
: como estamos no primeiro octante e limitado por e , vai de 0 a . - Para
: olhando o cilindro , no primeiro octante, vai de 0 a 3. - Para
: para cada , vai de 0 a .
Passo 6
Agora, vamos montar a integral tripla. A função que vamos integrar é
, então nossa integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 8
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 10
Agora, nossa integral ficou:
Passo 11
Vamos resolver essa última integral:
Resposta
O valor da integral tripla é
.