Considere a integral iterada
Esta integral é igual a uma integral tripla sobre uma região sólida
de
. Descreva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que representa o volume de uma região sólida
no espaço tridimensional. O enunciado nos dá os limites de integração para
,
e
. Nosso objetivo aqui é descrever exatamente como é essa região
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de
. A integral começa com
variando de 0 a 2. Isso significa que nossa região vai estar limitada entre esses valores no eixo
.
Passo 3
Agora, para cada valor de
entre 0 e 2, o valor de
varia de 0 até
. Vamos entender isso melhor:
- A expressão
lembra a fórmula de uma elipse. De fato, se rearranjarmos, temos , que é a equação de uma elipse no plano . - Multiplicando por
, ajustamos o valor máximo de para cada , garantindo que esteja dentro da elipse.
Passo 4
Finalmente, para cada par
, o valor de
varia de
até
. Vamos interpretar isso:
- A expressão
representa uma superfície parabólica que se abre para cima no eixo . - A expressão
também é uma superfície parabólica, mas se abre para baixo. - Portanto,
está limitado entre essas duas superfícies parabólicas.
Passo 5
Juntando tudo, a região sólida
é definida por:
-
variando de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 até a parte positiva da elipse . - Para cada
, varia de até .
Isso significa que
está localizada no primeiro octante do espaço (onde
,
e
são positivos) e é delimitada por essas superfícies parabólicas e pela elipse no plano
.
Resposta
A região sólida
está localizada no primeiro octante do espaço tridimensional, onde
varia de 0 a 2,
varia de 0 até a parte positiva da elipse definida por
, e
está compreendido entre a superfície parabólica inferior
e a superfície parabólica superior
. Em outras palavras,
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem: