Considere a integral iterada Esta integral é igual a uma integral tripla sobre uma região sólida de . Descreva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que representa o volume de uma região sólida no espaço tridimensional. O enunciado nos dá os limites de integração para , e . Nosso objetivo aqui é descrever exatamente como é essa região .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de . A integral começa com variando de 0 a 2. Isso significa que nossa região vai estar limitada entre esses valores no eixo .

Passo 3

Agora, para cada valor de entre 0 e 2, o valor de varia de 0 até . Vamos entender isso melhor:
  • A expressão lembra a fórmula de uma elipse. De fato, se rearranjarmos, temos , que é a equação de uma elipse no plano .
  • Multiplicando por , ajustamos o valor máximo de para cada , garantindo que esteja dentro da elipse.

Passo 4

Finalmente, para cada par , o valor de varia de até . Vamos interpretar isso:
  • A expressão representa uma superfície parabólica que se abre para cima no eixo .
  • A expressão também é uma superfície parabólica, mas se abre para baixo.
  • Portanto, está limitado entre essas duas superfícies parabólicas.

Passo 5

Juntando tudo, a região sólida é definida por:
  • variando de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até a parte positiva da elipse .
  • Para cada , varia de até .
Isso significa que está localizada no primeiro octante do espaço (onde , e são positivos) e é delimitada por essas superfícies parabólicas e pela elipse no plano .

Resposta

A região sólida está localizada no primeiro octante do espaço tridimensional, onde varia de 0 a 2, varia de 0 até a parte positiva da elipse definida por , e está compreendido entre a superfície parabólica inferior e a superfície parabólica superior . Em outras palavras, é o conjunto de todos os pontos que satisfazem:

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