Use a integral tripla para mostrar que o volume da esfera de raio
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral tripla para calcular o volume de uma esfera de raio
. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariado, especialmente sobre como configurar e resolver integrais em diferentes sistemas de coordenadas. Vamos precisar entender como funciona a integral tripla e escolher o sistema de coordenadas que facilita nossa vida, que nesse caso vai ser o sistema esférico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esfera de raio
é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância
do centro. Para calcular o volume dessa esfera, é mais fácil usar as coordenadas esféricas porque elas se alinham naturalmente com a forma da esfera.
As coordenadas esféricas são definidas por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo polar, que vai de 0 a . -
: o ângulo azimutal, que vai de 0 a .
Passo 3
Na integral tripla, precisamos também do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Esse fator extra (
) aparece por causa da transformação de coordenadas e é essencial para calcular corretamente o volume.
Passo 4
Agora, vamos configurar nossa integral tripla para a esfera de raio
:
Aqui:
-
varia de 0 a porque estamos dentro da esfera de raio . -
varia de 0 a para cobrir toda a esfera de cima para baixo. -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo ao redor do eixo.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Integramos em relação a
:
Agora, temos:
Resposta
O volume da esfera de raio
é
.