Use a integral tripla para mostrar que o volume da esfera de raio é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral tripla para calcular o volume de uma esfera de raio . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariado, especialmente sobre como configurar e resolver integrais em diferentes sistemas de coordenadas. Vamos precisar entender como funciona a integral tripla e escolher o sistema de coordenadas que facilita nossa vida, que nesse caso vai ser o sistema esférico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esfera de raio é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância do centro. Para calcular o volume dessa esfera, é mais fácil usar as coordenadas esféricas porque elas se alinham naturalmente com a forma da esfera.
As coordenadas esféricas são definidas por três parâmetros:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo polar, que vai de 0 a .
  • : o ângulo azimutal, que vai de 0 a .

Passo 3

Na integral tripla, precisamos também do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Esse fator extra ( ) aparece por causa da transformação de coordenadas e é essencial para calcular corretamente o volume.

Passo 4

Agora, vamos configurar nossa integral tripla para a esfera de raio :
Aqui:
  • varia de 0 a porque estamos dentro da esfera de raio .
  • varia de 0 a para cobrir toda a esfera de cima para baixo.
  • varia de 0 a para cobrir todo o círculo ao redor do eixo.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:
Integramos em relação a :
Agora, temos:

Resposta

O volume da esfera de raio é .

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