Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada:
é a região limitada pelo cilindro
e os planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais múltiplas! A gente precisa integrar a função
sobre a região
que é limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para isso, vamos usar integrais triplas e entender bem os limites da região que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O cilindro
é um cilindro elíptico que se estende ao longo do eixo
. Para facilitar, podemos rearranjar a equação para
, o que mostra que a seção transversal no plano
é uma elipse com semi-eixos de 3 na direção
e
na direção
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável. Começando pelo
, os planos
e
nos dão que
varia de 0 até
.
Passo 4
Para o
, observando o cilindro
e sabendo que
varia de 0 a
, vemos que
deve variar de 0 a 3 para que
seja positiva.
Passo 5
Finalmente, para
, dado um valor específico de
, a equação do cilindro
nos dá que
varia de
até
.
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla:
Passo 7
Vamos integrar em ordem: primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
Integrando a função
em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Passo 9
Vamos integrar em relação a
:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 11
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Seja
, então
e os limites de integração mudam de
a
.
Substituindo:
Passo 12
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Resposta
A integral da função
sobre a região
é
.