Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região limitada pelo cilindro e os planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais múltiplas! A gente precisa integrar a função sobre a região que é limitada pelo cilindro e pelos planos e . Para isso, vamos usar integrais triplas e entender bem os limites da região que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O cilindro é um cilindro elíptico que se estende ao longo do eixo . Para facilitar, podemos rearranjar a equação para , o que mostra que a seção transversal no plano é uma elipse com semi-eixos de 3 na direção e na direção .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável. Começando pelo , os planos e nos dão que varia de 0 até .

Passo 4

Para o , observando o cilindro e sabendo que varia de 0 a , vemos que deve variar de 0 a 3 para que seja positiva.

Passo 5

Finalmente, para , dado um valor específico de , a equação do cilindro nos dá que varia de até .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla:

Passo 7

Vamos integrar em ordem: primeiro em relação a , depois , e por último .
Integrando a função em relação a :

Passo 8

Agora, a integral fica:

Passo 9

Vamos integrar em relação a :
Simplificando:

Passo 10

Substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 11

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Seja , então e os limites de integração mudam de a .
Substituindo:

Passo 12

Sabemos que:
Aplicando os limites:
Simplificando:

Resposta

A integral da função sobre a região é .

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