O volume de um sólido é dado pela integral iterada:
Esboce o sólido e também o descreva pelas equações para as superfícies que formam seu contorno.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um volume de um sólido definido por uma integral iterada:
O conteúdo aqui envolve cálculo de volumes usando integrais múltiplas, mais especificamente integrais tripla. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e as equações que definem o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração para
:
Essa expressão nos mostra que
varia de
até
. Isso sugere que o sólido está limitado pela equação de uma esfera:
Essa é a equação de uma esfera com raio 4 centrada na origem.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os limites de
:
Para simplificar, vamos elevar ao quadrado ambos os lados:
Rearranjando:
Completando o quadrado para o termo de
:
Então:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio 2.
Passo 4
Por fim, os limites para
são:
Isso indica que nosso sólido está limitado na direção do eixo
entre 0 e 4.
Passo 5
Juntando todas as informações, temos que o sólido é a parte da esfera de raio 4 centrada na origem que está acima do círculo
no plano
e entre
e
.
Passo 6
Para esboçar o sólido, imagine uma esfera completa de raio 4. Agora, corte essa esfera com um cilindro vertical cujo eixo está deslocado para
e tem raio 2. O sólido resultante é a intersecção entre a esfera e esse cilindro, limitado entre
e
.
Resposta
O sólido é a intersecção de uma esfera de raio 4 centrada na origem com um cilindro vertical de raio 2 centrado em
, limitado entre
e
. As equações que formam seu contorno são: