O volume de um sólido é dado pela integral iterada: Esboce o sólido e também o descreva pelas equações para as superfícies que formam seu contorno.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um volume de um sólido definido por uma integral iterada:
O conteúdo aqui envolve cálculo de volumes usando integrais múltiplas, mais especificamente integrais tripla. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e as equações que definem o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração para :
Essa expressão nos mostra que varia de até . Isso sugere que o sólido está limitado pela equação de uma esfera:
Essa é a equação de uma esfera com raio 4 centrada na origem.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de :
Para simplificar, vamos elevar ao quadrado ambos os lados:
Rearranjando:
Completando o quadrado para o termo de :
Então:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio 2.

Passo 4

Por fim, os limites para são:
Isso indica que nosso sólido está limitado na direção do eixo entre 0 e 4.

Passo 5

Juntando todas as informações, temos que o sólido é a parte da esfera de raio 4 centrada na origem que está acima do círculo no plano e entre e .

Passo 6

Para esboçar o sólido, imagine uma esfera completa de raio 4. Agora, corte essa esfera com um cilindro vertical cujo eixo está deslocado para e tem raio 2. O sólido resultante é a intersecção entre a esfera e esse cilindro, limitado entre e .

Resposta

O sólido é a intersecção de uma esfera de raio 4 centrada na origem com um cilindro vertical de raio 2 centrado em , limitado entre e . As equações que formam seu contorno são:

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