Encontre o volume do sólido limitado pelo paraboloide e o cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide e o cilindro . Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, e entender como essas superfícies se interceptam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como o paraboloide e o cilindro se encontram. Para isso, igualamos as duas equações para encontrar a curva de interseção:
Resolvendo essa equação:
Essa é a equação de uma elipse no plano , que será a região de integração.

Passo 3

Agora, precisamos configurar a integral dupla para calcular o volume entre as duas superfícies. A ideia é integrar a diferença entre as funções do cilindro e do paraboloide sobre a região delimitada pela elipse .
A função que representa a altura do sólido em cada ponto é:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme a elipse em um círculo. Seja:
Com essa substituição, a região de integração fica:
O determinante jacobiano dessa transformação é , então .

Passo 5

Reescrevendo a integral no novo sistema de coordenadas:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar em coordenadas polares, onde e . A integral se torna:
Resolvendo a integral interna:

Passo 7

Agora, continuando com a integral externa:

Resposta

O volume do sólido é .

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