Encontre o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e o cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide
e o cilindro
. Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, e entender como essas superfícies se interceptam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar como o paraboloide e o cilindro se encontram. Para isso, igualamos as duas equações para encontrar a curva de interseção:
Resolvendo essa equação:
Essa é a equação de uma elipse no plano
, que será a região de integração.
Passo 3
Agora, precisamos configurar a integral dupla para calcular o volume entre as duas superfícies. A ideia é integrar a diferença entre as funções
do cilindro e do paraboloide sobre a região delimitada pela elipse
.
A função que representa a altura do sólido em cada ponto
é:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme a elipse em um círculo. Seja:
Com essa substituição, a região de integração fica:
O determinante jacobiano dessa transformação é
, então
.
Passo 5
Reescrevendo a integral no novo sistema de coordenadas:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar em coordenadas polares, onde
e
. A integral se torna:
Resolvendo a integral interna:
Passo 7
Agora, continuando com a integral externa:
Resposta
O volume do sólido é
.