Considere a integral iterada
Esta integral é igual a uma integral tripla sobre uma região sólida
de
. Descreva
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que está representada como uma integral iterada:
O objetivo aqui é descrever a região sólida
no espaço
sobre a qual essa integral está sendo calculada. Para isso, vamos entender os limites de integração para
,
e
e como eles definem a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites de integração de
. A integral externa vai de 0 a 2, ou seja:
Isso significa que
varia entre 0 e 2 ao longo da região
.
Passo 3
Em seguida, para cada valor de
, o valor de
varia de 0 até
. Então temos:
Esse limite para
depende do valor de
, indicando que a região em
é limitada por uma curva que envolve
.
Passo 4
Finalmente, para cada par
, o valor de
varia de
até
. Assim:
Isso nos mostra que
está limitado inferiormente por uma superfície parabólica e superiormente por outra superfície que também depende de
.
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo para descrever a região
. Ela é definida por todos os pontos
que satisfazem:
Isso significa que
é a região no espaço tridimensional onde
varia de 0 a 2,
está limitado por uma elipse dependente de
, e
está entre duas superfícies parabólicas que dependem de
.
Resposta
A região sólida
é o conjunto de todos os pontos
em
que satisfazem:
Ou seja,
está delimitada pelos planos
e
, pela elipse
no plano
, e entre as superfícies
e
no eixo
.