Considere a integral iterada Esta integral é igual a uma integral tripla sobre uma região sólida de . Descreva .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que está representada como uma integral iterada:
O objetivo aqui é descrever a região sólida no espaço sobre a qual essa integral está sendo calculada. Para isso, vamos entender os limites de integração para , e e como eles definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de integração de . A integral externa vai de 0 a 2, ou seja:
Isso significa que varia entre 0 e 2 ao longo da região .

Passo 3

Em seguida, para cada valor de , o valor de varia de 0 até . Então temos:
Esse limite para depende do valor de , indicando que a região em é limitada por uma curva que envolve .

Passo 4

Finalmente, para cada par , o valor de varia de até . Assim:
Isso nos mostra que está limitado inferiormente por uma superfície parabólica e superiormente por outra superfície que também depende de .

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para descrever a região . Ela é definida por todos os pontos que satisfazem:
Isso significa que é a região no espaço tridimensional onde varia de 0 a 2, está limitado por uma elipse dependente de , e está entre duas superfícies parabólicas que dependem de .

Resposta

A região sólida é o conjunto de todos os pontos em que satisfazem:
Ou seja, está delimitada pelos planos e , pela elipse no plano , e entre as superfícies e no eixo .

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