Encontre o volume do sólido limitado pelos planos
, e o cilindro
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelos planos
,
,
e pelo cilindro
. Isso envolve um pouco de cálculo integral, especificamente usando integrais triplas para determinar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
- Plano
: Esse é o plano onde é zero. - Plano
: Esse é o plano onde é zero. - Plano
: Podemos reescrever isso para encontrar em função de : . - Cilindro
: Esse é um cilindro circular com raio 3, ao longo do eixo .
Passo 3
Vamos decidir a ordem das integrais. Como o cilindro está na direção do eixo
, é conveniente integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 4
Determinar os limites de integração para
e
:
- Para
: Como , varia de a . - Para
: Para cada , varia de (plano ) até .
Passo 5
Agora, determinar os limites para
:
- Para cada
, varia de (plano ) até (plano ).
Passo 6
Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrar em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 9
Para resolver essa integral em
, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos usar:
Quando
,
; e quando
,
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 10
Resolvendo a integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites e simplificando, o volume
resulta ser:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.