Encontre o volume do sólido limitado pelos planos , e o cilindro .

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelos planos , , e pelo cilindro . Isso envolve um pouco de cálculo integral, especificamente usando integrais triplas para determinar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
  • Plano : Esse é o plano onde é zero.
  • Plano : Esse é o plano onde é zero.
  • Plano : Podemos reescrever isso para encontrar em função de : .
  • Cilindro : Esse é um cilindro circular com raio 3, ao longo do eixo .

Passo 3

Vamos decidir a ordem das integrais. Como o cilindro está na direção do eixo , é conveniente integrar primeiro em e depois em .

Passo 4

Determinar os limites de integração para e :
  • Para : Como , varia de a .
  • Para : Para cada , varia de (plano ) até .

Passo 5

Agora, determinar os limites para :
  • Para cada , varia de (plano ) até (plano ).

Passo 6

Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrar em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 9

Para resolver essa integral em , fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos usar:
Quando , ; e quando , .
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 10

Resolvendo a integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites e simplificando, o volume resulta ser:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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