Determine onde é o cilindro sólido definido pelas desigualdades .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde é um cilindro definido por e . Isso envolve cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas cilíndricas, que facilita trabalhar com formas circulares como cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o domínio é um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis ficam assim:
E o elemento de volume vira:
Além disso, a função que vamos integrar transforma-se em:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (já que , então )
  • varia de 0 a (um círculo completo)
  • varia de -1 a 2
Então, nossa integral tripla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, a última integração é em relação a :
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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