Determine
onde
é o cilindro sólido definido pelas desigualdades
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla
, onde
é um cilindro definido por
e
. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas cilíndricas, que facilita trabalhar com formas circulares como cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o domínio
é um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis ficam assim:
E o elemento de volume
vira:
Além disso, a função que vamos integrar
transforma-se em:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (já que , então ) -
varia de 0 a (um círculo completo) -
varia de -1 a 2
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, a última integração é em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
O valor da integral tripla é
.