Converta a seguinte integral em coordenadas cilíndricas a uma integral equivalente em a) coordenadas cartesianas e b) coordenadas esféricas:
Calcule a mais fácil das três integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral em coordenadas cilíndricas e precisamos convertê-la para coordenadas cartesianas e esféricas. Depois, a gente vai calcular qual dessas três integrais é mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar entender de coordenadas cilíndricas, cartesianas e esféricas, e saber como fazer as mudanças entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
varia de 0 a 1,
varia de 0 a
, e
vai de 0 até
. O fator
é o jacobiano das coordenadas cilíndricas, que ajusta a medida ao mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos converter essa integral para coordenadas cartesianas. Nas coordenadas cartesianas, as variáveis são
,
e
. A relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas é:
O volume diferencial em coordenadas cartesianas é
.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração em coordenadas cartesianas. Como
varia de 0 a 1, isso corresponde a
.
varia de 0 a
, que em cartesianas fica
.
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:
Passo 5
Agora, vamos converter a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos
(distância ao origem),
(ângulo com o eixo z) e
(ângulo no plano xy). As relações são:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é
.
Passo 6
Vamos definir os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a descrição original, temos
e
. Isso descreve uma região que está dentro de um cilindro de raio 1 e abaixo de uma esfera de raio 3.
Portanto, os limites são:
-
vai de 0 a 3 (raio da esfera), -
vai de 0 a , -
vai de 0 a .
A integral em coordenadas esféricas fica mais complexa, então vamos focar nas integrais cartesianas e cilíndricas.
Passo 7
Vamos agora calcular a integral original em coordenadas cilíndricas, pois parece ser a mais simples. A integral é:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
. Fazendo a substituição
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
.
A integral fica:
Integrando:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
A integral mais fácil foi resolvida em coordenadas cilíndricas, e o resultado final é: