Converta a seguinte integral em coordenadas cilíndricas a uma integral equivalente em a) coordenadas cartesianas e b) coordenadas esféricas: Calcule a mais fácil das três integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral em coordenadas cilíndricas e precisamos convertê-la para coordenadas cartesianas e esféricas. Depois, a gente vai calcular qual dessas três integrais é mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar entender de coordenadas cilíndricas, cartesianas e esféricas, e saber como fazer as mudanças entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original em coordenadas cilíndricas:
Aqui, varia de 0 a 1, varia de 0 a , e vai de 0 até . O fator é o jacobiano das coordenadas cilíndricas, que ajusta a medida ao mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos converter essa integral para coordenadas cartesianas. Nas coordenadas cartesianas, as variáveis são , e . A relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas é:
O volume diferencial em coordenadas cartesianas é .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração em coordenadas cartesianas. Como varia de 0 a 1, isso corresponde a . varia de 0 a , que em cartesianas fica .
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:

Passo 5

Agora, vamos converter a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos (distância ao origem), (ângulo com o eixo z) e (ângulo no plano xy). As relações são:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é .

Passo 6

Vamos definir os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a descrição original, temos e . Isso descreve uma região que está dentro de um cilindro de raio 1 e abaixo de uma esfera de raio 3.
Portanto, os limites são:
  • vai de 0 a 3 (raio da esfera),
  • vai de 0 a ,
  • vai de 0 a .
A integral em coordenadas esféricas fica mais complexa, então vamos focar nas integrais cartesianas e cilíndricas.

Passo 7

Vamos agora calcular a integral original em coordenadas cilíndricas, pois parece ser a mais simples. A integral é:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a . Fazendo a substituição , então ou . Quando , ; quando , .
A integral fica:
Integrando:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Resposta

A integral mais fácil foi resolvida em coordenadas cilíndricas, e o resultado final é:

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