Considere a integral iterada: Calcule a integral e esboce a região no plano .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral iterada e esboçar a região no plano . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais duplas, especificamente a técnica de integração iterada. Precisaremos entender os limites de integração para definir a região e, depois, calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração interna, que é em relação a . A função que vamos integrar é , e os limites de são de até .
A integral interna fica assim:
Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Simplificando cada parte:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado da integral interna em relação a de 0 a 1:

Resposta

A integral iterada é igual a 4.
Quanto ao esboço da região no plano , ela é definida pelos limites e . Isso forma uma faixa no gráfico onde, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até .

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