Determinne o valor de onde é a região em limitada pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. Precisamos determinar o valor da integral dupla:
Onde é a região no plano limitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração em coordenadas apropriadas e transformar a integral para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As retas que delimitam são:
  1. (eixo )
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para visualizar :
  • Interseção de e :
  • Interseção de e :
  • Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação: Então, o ponto é
A região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral utilizando uma mudança de coordenadas. Vamos definir:
Com isso, precisamos expressar e em termos de e :
Resolvendo as equações:
Também precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral:
O valor absoluto do jacobiano é , então .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de e :
Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada . Como é limitado por:
Portanto, os limites são:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Substituindo de volta na integral externa:
Calculando as integrais:
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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