Determinne o valor de onde é a região em limitada pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. Precisamos determinar o valor da integral dupla:
Onde é a região no plano limitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração em coordenadas apropriadas e transformar a integral para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . As retas que delimitam são:
(eixo )
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para visualizar :
Interseção de e :
Interseção de e :
Interseção de e :
Substituindo na segunda equação:Então, o ponto é
A região é um triângulo com vértices em , e .
Passo 3
Agora, vamos simplificar a integral utilizando uma mudança de coordenadas. Vamos definir:
Com isso, precisamos expressar e em termos de e :
Resolvendo as equações:
Também precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral:
O valor absoluto do jacobiano é , então .
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de e :
Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada . Como é limitado por: