Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região limitada pelo cilindro , o plano , e os planos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar a função sobre uma região específica. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Integral, mais precisamente Integrais Triplas, que servem para calcular volumes e outras quantidades em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração que definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é limitada pelo cilindro , o plano (que é o mesmo que ), e os planos , , e . Isso significa que:
  • x varia de 0 a 1.
  • y varia de -2 a 2.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. A ordem de integração será , ou seja, primeiro integramos em relação a z, depois a y e finalmente a x. A integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a z:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral do meio, que é em relação a y:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
  1. (pois a função é ímpar e o intervalo é simétrico)
Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Vamos somar as frações:

Resposta

A integral tripla de sobre a região é igual a .

Exercícios relacionados