Encontre onde é a região dentro da esfera e acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral tripla , onde é a região dentro da esfera e acima do plano . A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está dentro de uma esfera de raio 5 (já que ) e acima do plano . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é dado por .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
varia de a para cobrir todo o círculo completo.
varia de até o raio da esfera, que é .
é o ângulo polar. A condição nos d��:
Como , varia de até .
Passo 4
Vamos reescrever a função em coordenadas esféricas:
Isso simplifica para .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla:
Passo 6
Vamos resolver a integral em primeiro:
Fazendo a substituição , , os limites ficam de a :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Continuando a simplificação, mas percebemos que a integral fica muito complexa. Para facilitar, vamos optar por coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Reformulando com coordenadas cilíndricas , onde:
E o elemento de volume é .
A função fica .
Passo 8
Determinar os limites de integração:
de a
de até (da esfera)
de até (já que estamos acima de e a esfera vai até )
Passo 9
Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 10
Integrando em :
Passo 11
Agora, a integral fica:
Integrando em :
Substituindo os limites:
Passo 12
Integrando em :
Resposta
Após realizar todas as integrações, o valor final da integral tripla é:
No entanto, devido à complexidade dos cálculos intermediários, recomenda-se verificar passo a passo cada integração para garantir a precisão do resultado final.