Encontre onde é a região dentro da esfera e acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral tripla , onde é a região dentro da esfera e acima do plano . A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está dentro de uma esfera de raio 5 (já que ) e acima do plano . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é dado por .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a para cobrir todo o círculo completo.
  • varia de até o raio da esfera, que é .
  • é o ângulo polar. A condição nos d��:
Como , varia de até .

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas esféricas:
Isso simplifica para .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Fazendo a substituição , , os limites ficam de a :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Continuando a simplificação, mas percebemos que a integral fica muito complexa. Para facilitar, vamos optar por coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Reformulando com coordenadas cilíndricas , onde:
E o elemento de volume é .
A função fica .

Passo 8

Determinar os limites de integração:
  • de a
  • de até (da esfera)
  • de até (já que estamos acima de e a esfera vai até )

Passo 9

Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:

Passo 10

Integrando em :

Passo 11

Agora, a integral fica:
Integrando em :
Substituindo os limites:

Passo 12

Integrando em :

Resposta

Após realizar todas as integrações, o valor final da integral tripla é:
No entanto, devido à complexidade dos cálculos intermediários, recomenda-se verificar passo a passo cada integração para garantir a precisão do resultado final.

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