Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento S = S(t), onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade v(t) = S'(t) quando t = 2 s usando a definição de derivada.
S(t) = (t + 1) / (t - 1)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos a posição de uma partícula dada pela função , onde está em metros e em segundos. Precisamos encontrar a velocidade da partícula no instante segundos. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a descobrir a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de , que representa a velocidade , é dada por:
Isso significa que vamos calcular quanto a posição muda quando o tempo muda um pouquinho ( ) e ver o que acontece conforme esse “pouquinho” fica cada vez menor, chegando a zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para encontrar . Substituindo por 2 na definição:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 7

Como tende a zero, temos:

Resposta

A velocidade da partícula no instante segundos é .

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Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento S = S(t), onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade v(t) = S'(t) quando t = 2 s usando a definição de derivada.
S(t) = t^(-1) - t
Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento S = S(t), onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade v(t) = S'(t) quando t = 2 s usando a definição de derivada.
S(t) = t^2 - 6t - 5
Considere a integral de linha integralc(y^2-x y) d x+k(x^2-4 x y) d y.
Com a função potencial encontrada, calcule a integral percorrendo de (0,0) a (1,1).
Seja função f(x) = |3x - 6| uma função real.
(b) Encontre uma fórmula para f'(x) e esboce os gráficos de f e f' no mesmo sistema de eixos.