Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a expressão
faz sentido. Aqui, estamos lidando com campos vetoriais e escalares, especificamente com o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é o rotacional e como ele se comporta quando aplicado duas vezes a um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência de rotação de um campo ao redor de um ponto. Matematicamente, se
, então:
O resultado desse cálculo é outro campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre aplicar o rotacional novamente:
. Em cálculo vetorial, existe uma identidade interessante que nos diz que:
Onde
é a divergente de
(um campo escalar) e
é o Laplaciano de
(um campo vetorial). Isso mostra que aplicar o rotacional duas vezes ainda resulta em um campo vetorial.
Passo 4
Portanto, a expressão
tem significado sim! E o resultado dessa operação é um campo vetorial.
Resposta
A expressão
é válida e o resultado é um campo vetorial.
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.
Utilizando encontrado, encontre a função potencial
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.
Utilizando