Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
rot(rot(F))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a expressão rot(rot(F)) faz sentido. Aqui, estamos lidando com campos vetoriais e escalares, especificamente com o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é o rotacional e como ele se comporta quando aplicado duas vezes a um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência de rotação de um campo ao redor de um ponto. Matematicamente, se , então:
O resultado desse cálculo é outro campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre aplicar o rotacional novamente: rot(rot(F)). Em cálculo vetorial, existe uma identidade interessante que nos diz que:
Onde é a divergente de F (um campo escalar) e é o Laplaciano de F (um campo vetorial). Isso mostra que aplicar o rotacional duas vezes ainda resulta em um campo vetorial.

Passo 4

Portanto, a expressão rot(rot(F)) tem significado sim! E o resultado dessa operação é um campo vetorial.

Resposta

A expressão rot(rot(F)) é válida e o resultado é um campo vetorial.

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