Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
Passo 1
Entendendo o Problema:
Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva da função no ponto dado
. Para isso, vamos utilizar o conceito de limite para determinar o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente.
Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva da função
Conteúdo Envolvido:
- Derivadas (usando o limite)
- Equação da reta tangente
O que vamos precisar:
- Aplicar a definição de derivada usando limites
- Utilizar a fórmula da equação da reta
Passo 2
Calculando o Coeficiente Angular (Derivada) usando Limite:
O coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto de tangência. A definição de derivada usando limite é:
O coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto de tangência. A definição de derivada usando limite é:
Onde
. Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 3
Aplicando os Valores na Fórmula do Limite:
Substituindo na fórmula:
Substituindo
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 4
Simplificando a Expressão:
Vamos simplificar o numerador:
Vamos simplificar o numerador:
Expandindo
:
Então:
Passo 5
Cancelando o Fator Comum:
No numerador, podemos fatorar :
No numerador, podemos fatorar
Agora, dividimos por
:
Passo 6
Calculando o Limite:
Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:
Agora, aplicamos o limite quando
Então, o coeficiente angular
.
Passo 7
Encontrando a Equação da Reta Tangente:
Usamos a fórmula da reta:
Usamos a fórmula da reta:
Onde
e
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
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Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Determine a derivada das funções abaixo.
Considere a integral de linha
.
Utilizando encontrado, encontre a função potencial
, onde
.
Utilizando
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.