Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
d f(x) = 1/x^2, (-2, 1/4)

Passo 1

Entendendo o Problema:
Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva da função no ponto dado . Para isso, vamos utilizar o conceito de limite para determinar o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente.
Conteúdo Envolvido:
  • Derivadas (usando o limite)
  • Equação da reta tangente
O que vamos precisar:
  • Aplicar a definição de derivada usando limites
  • Utilizar a fórmula da equação da reta

Passo 2

Calculando o Coeficiente Angular (Derivada) usando Limite:
O coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto de tangência. A definição de derivada usando limite é:
Onde . Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 3

Aplicando os Valores na Fórmula do Limite:
Substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 4

Simplificando a Expressão:
Vamos simplificar o numerador:
Expandindo :
Então:

Passo 5

Cancelando o Fator Comum:
No numerador, podemos fatorar :
Agora, dividimos por :

Passo 6

Calculando o Limite:
Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:
Então, o coeficiente angular .

Passo 7

Encontrando a Equação da Reta Tangente:
Usamos a fórmula da reta:
Onde e :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
rot(rot(F))
Determine a derivada das funções abaixo.
g(x) = (e^x + 3 x^2) * raiz(x)
Considere a integral de linha integralc y2 d x-3 k x d y.
Utilizando k encontrado, encontre a função potencial varphi, onde varphi(0,0)=1.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
y = 2 * raiz(x), (1,2)