Considere a integral de linha integralc y2 d x-3 k x d y.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de (0,0) a (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha de (0,0) a (2,3) para a expressão integralc y2 dx - 3k x dy usando a função potencial. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos, onde podemos simplificar o cálculo usando uma função potencial. Para resolver, precisamos verificar se o campo é conservativo, encontrar a função potencial e depois avaliar essa função nos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F associado à integral: F = ( y2, -3k x ). Para determinar se esse campo é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, verificamos se partial Ppartial y = partial Qpartial x, onde P = y2 e Q = -3k x.
Calculando:
partial Ppartial y = 12
partial Qpartial x = -3k
Como 12 neq -3k, o campo não é conservativo a menos que k = -16. Vamos supor que k = -16 para que o campo seja conservativo e possamos usar a função potencial.

Passo 3

Agora que assumimos que k = -16, o campo é conservativo, e podemos encontrar a função potencial f(x,y) tal que nabla f = F. Isso significa que:
partial fpartial x = y2
Integrando em relação a x:
f(x,y) = y2x + g(y)
Agora, derivamos f(x,y) em relação a y e igualamos a segunda componente do campo:
partial fpartial y = x2 + g'(y) = -3k x
Substituindo k = -16:
x2 + g'(y) = 12x
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é uma constante. Podemos considerar g(y) = 0 para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
f(x,y) = y2x

Passo 4

Com a função potencial encontrada, calculamos a integral avaliando f nos pontos finais: f(2,3) - f(0,0).
Calculando:
f(2,3) = 32 times 2 = 3
f(0,0) = 02 times 0 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a 3.

Exercícios relacionados

Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
div(rot(grad(f)))
Determine se existe ou não f'(0).
f(x) = { 2 sen(x)/x, x ≠ 0; 2, x = 0 }
Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
(a) (-1, 1, 1)
Determine se existe ou não f'(0).
f(x) = { x^(2/3), x ≥ 0; x^(1/3), x < 0 }