Considere a integral de linha
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de
a
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha de
a
para a expressão
usando a função potencial. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos, onde podemos simplificar o cálculo usando uma função potencial. Para resolver, precisamos verificar se o campo é conservativo, encontrar a função potencial e depois avaliar essa função nos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
associado à integral:
. Para determinar se esse campo é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, verificamos se
, onde
e
.
Calculando:
Como
, o campo não é conservativo a menos que
. Vamos supor que
para que o campo seja conservativo e possamos usar a função potencial.
Passo 3
Agora que assumimos que
, o campo é conservativo, e podemos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a segunda componente do campo:
Substituindo
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar
para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial encontrada, calculamos a integral avaliando
nos pontos finais:
.
Calculando:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Determine se existe ou não
.
Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
(a)
(a)
Determine se existe ou não
.