Determine se existe ou não
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
. A tarefa é descobrir se a derivada dessa função em
existe. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a derivada de uma função em um ponto. A derivada
de uma função
em
nos mostra a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Matematicamente, ela é definida como:
Para que
exista, os limites pela direita e pela esquerda de
precisam existir e ser iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada pela direita, ou seja, quando
se aproxima de
pelo lado positivo (
). A função nesse caso é
. Derivando essa expressão:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de
pela direita:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de
pelo lado negativo (
). A função nesse caso é
. Derivando essa expressão:
Calculando o limite quando
se aproxima de
pela esquerda:
Passo 5
Para que a derivada
exista, os limites pelas direções direita e esquerda devem ser iguais e finitos. No nosso caso,
e
, que são valores diferentes e infinitos.
Resposta
Não,
não existe.
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Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
(a)
(a)
Considere a integral de linha
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de a
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Derive as funções abaixo usando as regras de diferenciação para funções potências.