Determine se existe ou não f'(0).
f(x) = { x^(2/3), x ≥ 0; x^(1/3), x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . A tarefa é descobrir se a derivada dessa função em existe. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a derivada de uma função em um ponto. A derivada de uma função em nos mostra a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Matematicamente, ela é definida como:
Para que exista, os limites pela direita e pela esquerda de precisam existir e ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela direita, ou seja, quando se aproxima de pelo lado positivo ( ). A função nesse caso é . Derivando essa expressão:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de pela direita:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de pelo lado negativo ( ). A função nesse caso é . Derivando essa expressão:
Calculando o limite quando se aproxima de pela esquerda:

Passo 5

Para que a derivada exista, os limites pelas direções direita e esquerda devem ser iguais e finitos. No nosso caso, e , que são valores diferentes e infinitos.

Resposta

Não, não existe.

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