Considere a integral de linha
.
a) Calcule esta integral, onde
é o segmento de linha de
a
a) Calcule esta integral, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha
. A missão é calcular essa integral onde
é o segmento de linha que vai do ponto
até
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre parametrização de curvas e como calcular integrais de linha. Vamos passo a passo entender como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como
é uma reta que vai de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1 para descrever qualquer ponto nessa reta. A parametrização fica assim:
Aqui,
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora que temos
, precisamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
, que são
,
e
. Isso nos dá:
Essas derivadas representam as componentes do vetor tangente à curva.
Passo 4
A próxima etapa é substituir
,
,
,
,
e
na integral original. A integral de linha fica:
Substituindo
,
,
,
,
, e
, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar a expressão
em relação a
de 0 a 1:
Calculando cada integral separadamente:
Somando os dois resultados:
Resposta
A integral de linha
no segmento de reta de
a
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga o ponto
ao ponto
.
Suponha que
seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então