Considere a integral de linha .
a) Calcule esta integral, onde é o segmento de linha de a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha . A missão é calcular essa integral onde é o segmento de linha que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre parametrização de curvas e como calcular integrais de linha. Vamos passo a passo entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para descrever qualquer ponto nessa reta. A parametrização fica assim:
Aqui, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora que temos , precisamos encontrar as derivadas de , e em relação a , que são , e . Isso nos dá:
Essas derivadas representam as componentes do vetor tangente à curva.

Passo 4

A próxima etapa é substituir , , , , e na integral original. A integral de linha fica:
Substituindo , , , , , e , temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar a expressão em relação a de 0 a 1:
Calculando cada integral separadamente:
Somando os dois resultados:

Resposta

A integral de linha no segmento de reta de a é igual a .

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