Considere a integral de linha integralC z^2 d x+2 y d y+x z d z.
a) Calcule esta integral, onde C é o segmento de linha de (0,0,0) a (1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha . A missão é calcular essa integral onde é o segmento de linha que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre parametrização de curvas e como calcular integrais de linha. Vamos passo a passo entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0 + t(1-0), 0 + t(1-0), 0 + t(1-0)) = (t, t, t) . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para descrever qualquer ponto nessa reta. A parametrização fica assim:
Aqui, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora que temos dxdt = 1, dydt = 1, dzdt = 1 , precisamos encontrar as derivadas de , e em relação a , que são , e . Isso nos dá:
Essas derivadas representam as componentes do vetor tangente à curva.

Passo 4

A próxima etapa é substituir integralC z^2 , dx + 2y , dy + xz , dz = integral0^1 [ z(t)^2 cdot dxdt + 2y(t) cdot dydt + x(t)z(t) cdot dzdt ] dt , integral0^1 [ t^2 cdot 1 + 2t cdot 1 + t cdot t cdot 1 ] dt = integral0^1 ( t^2 + 2t + t^2 ) dt = integral0^1 ( 2t^2 + 2t ) dt , , , e na integral original. A integral de linha fica:
Substituindo , , , , , e , temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar a expressão integral0^1 2t^2 , dt + integral0^1 2t , dt em relação a integral0^1 2t^2 , dt = 2 cdot [ t^33 ]0^1 = 2 cdot ( 13 - 0 ) = 23 de 0 a 1:
integral0^1 2t , dt = 2 cdot [ t^22 ]0^1 = 2 cdot ( 12 - 0 ) = 1
Calculando cada integral separadamente:
23 + 1 = 23 + 33 = 53
Somando os dois resultados:

Resposta

A integral de linha no segmento de reta de a é igual a .

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