Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula de um ponto
para um ponto
ao longo de uma curva qualquer
. Vamos usar conceitos de trabalho realizado por um campo vetorial e integrais de linha. Para isso, precisamos entender se o campo é conservativo e, caso seja, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho
é dado pela integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
:
Isso significa que precisamos calcular essa integral para a curva específica que liga
a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Se
for conservativo, o trabalho será independente do caminho e dependerá apenas dos pontos inicial e final, facilitando muito nosso cálculo.
Passo 4
Para descobrir se
é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas e verificar se são iguais, ou seja, se:
Se todas essas igualdades forem verdadeiras, então
é um campo conservativo.
Passo 5
Vamos calcular essas derivadas para o nosso
:
Calculando as derivadas:
Vemos que
. Fazemos o mesmo para as outras derivadas e constatamos que todas são iguais, portanto
é conservativo.
Passo 6
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Para encontrar
, vamos integrar cada componente de
em relação à sua variável correspondente.
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Comparando com
, percebemos que
, então:
Finalmente, integramos novamente para encontrar
e obtemos a função potencial completa:
Como
e observando que termos adicionais de
não aparecem em
, concluímos que
é constante e podemos descartá-la.
Passo 7
Com a função potencial
encontrada, o trabalho
é simplesmente a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Calculando
:
E
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja qualquer curva simples, fechada pertencente ao exterior do círculo
Explique por que se
é orientada no sentido anti-horário, então
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices
, orientado no sentido horário.
Considere a integral de linha
.
a) Calcule esta integral, onde é o segmento de linha de
a
a) Calcule esta integral, onde