Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária que liga o ponto ao ponto .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula de um ponto para um ponto ao longo de uma curva qualquer . Vamos usar conceitos de trabalho realizado por um campo vetorial e integrais de linha. Para isso, precisamos entender se o campo é conservativo e, caso seja, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho é dado pela integral de linha do campo vetorial ao longo da curva :
Isso significa que precisamos calcular essa integral para a curva específica que liga a .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar tal que:
Se for conservativo, o trabalho será independente do caminho e dependerá apenas dos pontos inicial e final, facilitando muito nosso cálculo.

Passo 4

Para descobrir se é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas e verificar se são iguais, ou seja, se:
Se todas essas igualdades forem verdadeiras, então é um campo conservativo.

Passo 5

Vamos calcular essas derivadas para o nosso :
Calculando as derivadas:
Vemos que . Fazemos o mesmo para as outras derivadas e constatamos que todas são iguais, portanto é conservativo.

Passo 6

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . Para encontrar , vamos integrar cada componente de em relação à sua variável correspondente.
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Comparando com , percebemos que , então:
Finalmente, integramos novamente para encontrar e obtemos a função potencial completa:
Como e observando que termos adicionais de não aparecem em , concluímos que é constante e podemos descartá-la.

Passo 7

Com a função potencial encontrada, o trabalho é simplesmente a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Calculando :
E :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é .

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Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices , orientado no sentido horário.
Considere a integral de linha .
a) Calcule esta integral, onde é o segmento de linha de a