Esboce a região de integração e calcule a integral.
integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é o sólido entre o cone z=raizx^2+y^2 e o plano z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral tripla , onde é o sólido entre o cone e o plano .
Conteúdo da matéria: Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos simetria circular no problema. Precisamos entender as regiões delimitadas pelo cone e pelo plano para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, temos:
  • integral triplaE rho cdot rho , drho , dtheta , dz = integral triplaE rho^2 , drho , dtheta , dz
  • E o elemento de volume é
A função que vamos integrar, , simplifica para em coordenadas cilíndricas. Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para , e .
  • : Como o sólido é simétrico ao redor do eixo , varia de a .
  • : O cone é dado por . O plano é . Então, para cada , vai de até . Mas como varia de a , também vai de a .
  • : Vai de (base do cone) até (plano).
Então, os limites ficam:

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^1 integral0^rho rho^2 , dz , drho , dtheta
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a .

Passo 5

Integrando em relação a integral0^rho rho^2 , dz = rho^2 cdot z |0^rho = rho^3 :
integral0^2pi integral0^1 rho^3 , drho , dtheta
Agora, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^1 rho^3 , drho = rho^44 |0^1 = 14 :
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 integral0^2pi dtheta
A integral agora é:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a 14 integral0^2pi dtheta = 14 cdot 2pi = pi2 :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

lim x -4(1-tg x) sec x
lim x infty e^-8 ln x
Considere a integral tripla iterada
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Mostre que
integral0^x(integral0^v[integral0^u f(t) d t] d u) d v=12 integral0^x(x-t)^2 f(t) d t