Esboce a região de integração e calcule a integral. , onde é o sólido entre o cone e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral tripla , onde é o sólido entre o cone e o plano .
Conteúdo da matéria: Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos simetria circular no problema. Precisamos entender as regiões delimitadas pelo cone e pelo plano para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, temos:
E o elemento de volume é
A função que vamos integrar, , simplifica para em coordenadas cilíndricas. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para , e .
: Como o sólido é simétrico ao redor do eixo , varia de a .
: O cone é dado por . O plano é . Então, para cada , vai de até . Mas como varia de a , também vai de a .
: Vai de (base do cone) até (plano).
Então, os limites ficam:
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a .
Passo 5
Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a integral0^1 rho^3 , drho = rho^44 |0^1 = 14 :