lim x -4(1-tg x) sec x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da expressão (1 - tan x) sec x quando x se aproxima de -4. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente a tangente ( tan x) e a secante ( sec x). Para resolver isso, vamos precisar conhecer como essas funções se comportam e como calcular limites de expressões que envolvem funções trigonométricas.

Passo 2

O próximo passo é lembrar que, para calcular o limite de uma função quando x se aproxima de um valor específico, podemos, muitas vezes, simplesmente substituir esse valor na função, desde que a função seja contínua nesse ponto. As funções tan x e sec x são contínuas em todos os pontos onde estão definidas.
Então, vamos verificar se x = -4 está dentro do domínio dessas funções. A tangente e a secante são indefinidas quando cos x = 0, ou seja, nos pontos onde x = pi2 + kpi, onde k é um número inteiro. Como -4 não é um desses pontos (porque -4 radianos não é igual a pi2 + kpi para nenhum inteiro k), podemos continuar.

Passo 3

Agora, como podemos substituir diretamente x = -4 na expressão? Sim, porque a função é contínua nesse ponto. Então vamos fazer isso:
limx to -4 (1 - tan x) sec x = (1 - tan(-4)) sec(-4)

Passo 4

Vamos simplificar usando propriedades das funções trigonométricas ímpares e pares. Sabemos que:
  • tan(-x) = -tan x (a tangente é uma função ímpar)
  • sec(-x) = sec x (a secante é uma função par)
Aplicando isso na nossa expressão:
(1 - tan(-4)) sec(-4) = (1 - (-tan 4)) sec 4 = (1 + tan 4) sec 4

Passo 5

Então, o limite simplifica para:
(1 + tan 4) sec 4
Esse é o valor do limite quando x se aproxima de -4. Se precisar de um valor numérico, você pode usar uma calculadora para calcular tan 4 e sec 4 (lembrando que os ângulos estão em radianos).

Resposta

limx to -4 (1 - tan x) sec x = (1 + tan 4) sec 4

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