Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da expressão
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente a tangente (
) e a secante (
). Para resolver isso, vamos precisar conhecer como essas funções se comportam e como calcular limites de expressões que envolvem funções trigonométricas.
Passo 2
O próximo passo é lembrar que, para calcular o limite de uma função quando
se aproxima de um valor específico, podemos, muitas vezes, simplesmente substituir esse valor na função, desde que a função seja contínua nesse ponto. As funções
e
são contínuas em todos os pontos onde estão definidas.
Então, vamos verificar se
está dentro do domínio dessas funções. A tangente e a secante são indefinidas quando
, ou seja, nos pontos onde
, onde
é um número inteiro. Como
não é um desses pontos (porque
radianos não é igual a
para nenhum inteiro
), podemos continuar.
Passo 3
Agora, como podemos substituir diretamente
na expressão? Sim, porque a função é contínua nesse ponto. Então vamos fazer isso:
Passo 4
Vamos simplificar usando propriedades das funções trigonométricas ímpares e pares. Sabemos que:
-
(a tangente é uma função ímpar) -
(a secante é uma função par)
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 5
Então, o limite simplifica para:
Esse é o valor do limite quando
se aproxima de
. Se precisar de um valor numérico, você pode usar uma calculadora para calcular
e
(lembrando que os ângulos estão em radianos).
Resposta
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e calcule a integral.
, onde
é o sólido entre o cone
e o plano
.
Considere a integral tripla iterada
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.