Considere a integral integral triplaE f(x, y, z) d V. Utilize o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas para escrever a integral em coordanadas esféricas. Mostre que o volume de uma esfera em R^3, com raio a é igual a 43 pi a^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema nos pede para usar o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas e converter a integral dada para coordenadas esféricas. Além disso, precisamos demonstrar que o volume de uma esfera de raio em é igual a .
Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como aplicar a mudança de variáveis em integrais triplas.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, usamos x = rho sinphi costheta para localizar um ponto no espaço. Nas coordenadas esféricas, usamos y = rho sinphi sintheta , onde:
  • z = rho cosphi é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano (semelhante ao ângulo em coordenadas polares).
  • é o ângulo entre o vetor e o eixo .
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:

Passo 3

Agora, quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas em integrais triplas, precisamos considerar o jacobiano da transformação, que nesse caso é dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta . Isso significa que a medida de volume em coordenadas esféricas fica:

Passo 4

Vamos aplicar isso à integral dada integral triplaE f(x, y, z) , dV = integral triplaE' f(rho sinphi costheta, rho sinphi sintheta, rho cosphi) , rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta . Substituindo para coordenadas esféricas, temos:
onde é a região descrita em coordenadas esféricas.

Passo 5

Agora, para encontrar o volume de uma esfera de raio integral triplaE 1 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^a rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta , podemos considerar e sendo a esfera .
Convertendo para coordenadas esféricas, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^a rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^a = a^33 :

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = 1 + 1 = 2 :

Passo 8

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 9

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
a^33 times 2 times 2pi = 43 pi a^3

Resposta

O volume de uma esfera em com raio é igual a .

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