Considere a integral
. Utilize o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas para escrever a integral em coordanadas esféricas. Mostre que o volume de uma esfera em
, com raio
é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema nos pede para usar o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas e converter a integral dada para coordenadas esféricas. Além disso, precisamos demonstrar que o volume de uma esfera de raio
em
é igual a
.
Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como aplicar a mudança de variáveis em integrais triplas.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas cartesianas, usamos
para localizar um ponto no espaço. Nas coordenadas esféricas, usamos
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano (semelhante ao ângulo em coordenadas polares). -
é o ângulo entre o vetor e o eixo .
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
Passo 3
Agora, quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas em integrais triplas, precisamos considerar o jacobiano da transformação, que nesse caso é
. Isso significa que a medida de volume
em coordenadas esféricas fica:
Passo 4
Vamos aplicar isso à integral dada
. Substituindo para coordenadas esféricas, temos:
onde
é a região
descrita em coordenadas esféricas.
Passo 5
Agora, para encontrar o volume de uma esfera de raio
, podemos considerar
e
sendo a esfera
.
Convertendo para coordenadas esféricas, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
Resposta
O volume de uma esfera em
com raio
é igual a
.