Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série
converge ou diverge. A gente vai trabalhar com séries infinitas e teoria de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que a gente já conhece se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que para valores pequenos de
,
é aproximadamente igual a
. Então, para grandes valores de
,
fica bem pequeno, e podemos dizer que:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica
. Sabemos que essa série geométrica converge porque a razão
.
Como
é menor ou igual a
para todo
, pela Regra da Comparação, se a série maior
converge, então a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Considere a integral
. Utilize o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas para escrever a integral em coordanadas esféricas. Mostre que o volume de uma esfera em
, com raio
é igual a
.
Determine se a série converge ou diverge.
Use integral tripla para determinar o volume da região limitada por
e por
.