Determine se a série converge ou diverge.
44 sumn=1^infty ln (1+12^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série converge ou diverge. A gente vai trabalhar com séries infinitas e teoria de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que a gente já conhece se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: ln (1+12^n) approx 12^n . Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Então, para grandes valores de , fica bem pequeno, e podemos dizer que:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica . Sabemos que essa série geométrica converge porque a razão .
Como é menor ou igual a para todo , pela Regra da Comparação, se a série maior converge, então a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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