Determine todos os reais para os quais a série é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de a série
é convergente. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, especificamente séries de termos positivos. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries, como o teste da integral e o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série ignorando o fator constante 47, já que ele não afeta a convergência:
Agora, precisamos verificar para quais valores de essa série converge.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Integral, que é útil quando nossos termos são de uma forma que podemos associar a uma função contínua e decrescente. A série
pode ser comparada à integral
Se a integral converge, então a série também converge.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , temos e . Mudando as variáveis:

Passo 5

A integral resultante é:
Agora, analisamos o comportamento dessa integral quando tende ao infinito. A convergência depende do expoente de .
  • Se , ou seja, , então tende a zero rapidamente, e a integral converge.
  • Se , ou seja, , a integral se torna:
Que é o logaritmo natural, e diverge quando tende ao infinito.
  • Se , ou seja, , então cresce exponencialmente, e a integral diverge.

Passo 6

Portanto, a integral converge apenas quando . Assim, pela relação do teste da integral, a série também converge quando .

Resposta

A série
é convergente para todos os valores reais de tais que .

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Considere a integral . Utilize o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas para escrever a integral em coordanadas esféricas. Mostre que o volume de uma esfera em , com raio é igual a .