Determine todos os reais k para os quais a série é convergente.
47 sumn=2^infty 1n^k ln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de 47 sumn=2^infty 1n^k ln n a série
é convergente. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, especificamente séries de termos positivos. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries, como o teste da integral e o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série ignorando o fator constante 47, já que ele não afeta a convergência:
sumn=2^infty 1n^k ln n
Agora, precisamos verificar para quais valores de essa série converge.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Integral, que é útil quando nossos termos são de uma forma que podemos associar a uma função contínua e decrescente. A série
sumn=2^infty 1n^k ln n
pode ser comparada à integral
integral2^infty 1x^k ln x , dx
Se a integral converge, então a série também converge.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 1x^k ln x , dx
Fazendo a substituição integral 1(e^t)^k cdot t cdot e^t dt = integral e^t(1 - k)t , dt , temos e . Mudando as variáveis:

Passo 5

A integral resultante é:
integral ln 2 ^infty e^t(1 - k)t , dt
Agora, analisamos o comportamento dessa integral quando integral 1t , dt tende ao infinito. A convergência depende do expoente de .
  • Se , ou seja, , então tende a zero rapidamente, e a integral converge.
  • Se , ou seja, , a integral se torna:
Que é o logaritmo natural, e diverge quando tende ao infinito.
  • Se , ou seja, , então cresce exponencialmente, e a integral diverge.

Passo 6

Portanto, a integral converge apenas quando . Assim, pela relação do teste da integral, a série também converge quando .

Resposta

A série
47 sumn=2^infty 1n^k ln n
é convergente para todos os valores reais de tais que .

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