Determine todos os reais
para os quais a série é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de
a série
é convergente. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, especificamente séries de termos positivos. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries, como o teste da integral e o teste da série p.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série ignorando o fator constante 47, já que ele não afeta a convergência:
Agora, precisamos verificar para quais valores de
essa série converge.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Integral, que é útil quando nossos termos são de uma forma que podemos associar a uma função contínua e decrescente. A série
pode ser comparada à integral
Se a integral converge, então a série também converge.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, temos
e
. Mudando as variáveis:
Passo 5
A integral resultante é:
Agora, analisamos o comportamento dessa integral quando
tende ao infinito. A convergência depende do expoente de
.
- Se
, ou seja, , então tende a zero rapidamente, e a integral converge. - Se
, ou seja, , a integral se torna:
Que é o logaritmo natural, e diverge quando
tende ao infinito.
- Se
, ou seja, , então cresce exponencialmente, e a integral diverge.
Passo 6
Portanto, a integral converge apenas quando
. Assim, pela relação do teste da integral, a série também converge quando
.
Resposta
A série
é convergente para todos os valores reais de
tais que
.
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Determine se a série converge ou diverge.
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Considere a integral
. Utilize o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas para escrever a integral em coordanadas esféricas. Mostre que o volume de uma esfera em
, com raio
é igual a
.