Determine todos os reais k para os quais a série é convergente.
48 sumn=2^infty 1n(ln n)^k

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita:
48 sumn=2^infty 1n(ln n)^k
O objetivo é descobrir para quais valores reais de essa série converge. Vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência para resolver isso. Precisamos entender como se comporta essa série quando cresce e qual o papel do parâmetro nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise, já que o fator 48 é apenas uma constante multiplicativa e não afeta a convergência. Então, podemos focar na série:
sumn=2^infty 1n(ln n)^k

Passo 3

Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Integral, que é muito útil para séries do tipo . Esse teste nos diz que, se a integral correspondente converge, a série também converge, e vice-versa.

Passo 4

Vamos considerar a integral correspondente:
integral2^infty 1x (ln x)^k , dx
Agora, vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja integralln 2^infty 1t^k , dt , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 5

Agora, analisamos a integral:
integralln 2^infty 1t^k , dt
Essa é uma integral de potência. Sabemos que:
  • Se , a integral converge.
  • Se , a integral diverge.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, concluímos que:
  • A integral converge se e somente se .
  • Portanto, a série também converge se e somente se .

Resposta

A série converge para todos os números reais maiores que 1. Ou seja, para todo .

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