Determine todos os reais
para os quais a série é convergente.
Passo 1
Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita:
O objetivo é descobrir para quais valores reais de
essa série converge. Vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência para resolver isso. Precisamos entender como se comporta essa série quando
cresce e qual o papel do parâmetro
nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise, já que o fator 48 é apenas uma constante multiplicativa e não afeta a convergência. Então, podemos focar na série:
Passo 3
Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Integral, que é muito útil para séries do tipo
. Esse teste nos diz que, se a integral correspondente converge, a série também converge, e vice-versa.
Passo 4
Vamos considerar a integral correspondente:
Agora, vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja
, então
. Isso simplifica a integral para:
Passo 5
Agora, analisamos a integral:
Essa é uma integral de potência. Sabemos que:
- Se
, a integral converge. - Se
, a integral diverge.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, concluímos que:
- A integral
converge se e somente se . - Portanto, a série
também converge se e somente se .
Resposta
A série converge para todos os números reais
maiores que 1. Ou seja, para todo
.