Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas e à convergência delas. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar termos da série com outras séries conhecidas e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, olha só esse 40 que tá na frente da soma. Ele é uma constante multiplicando a série inteira. Uma coisa legal sobre séries é que multiplicar toda a série por uma constante não muda se ela converge ou diverge. Ou seja, podemos focar apenas na série:
e no final, a conclusão sobre a convergência será a mesma para a série original com o 40.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da série: . Sabemos que para valores de bem pequenos, como é o caso quando é grande e é próximo de zero, a tangente de pode ser aproximada por . Ou seja:
Então, para grandes valores de , temos:
Isso significa que os termos da nossa série estão se comportando de forma semelhante aos termos da série harmônica:

Passo 4

A série harmônica é uma famosa série que sabemos que diverge, ou seja, não soma para um valor finito. Já que nossa série original tem termos que são aproximadamente iguais aos da série harmônica para grandes , podemos usar o Teste da Comparação para concluir algo sobre a nossa série.
O Teste da Comparação diz que se para todo grande o suficiente, e diverge, então também diverge. No nosso caso:
E como diverge, então nossa série também diverge.

Resposta

A série
diverge.

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Determine todos os reais para os quais a série é convergente.
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Considere a integral . Utilize o teorema de mudança de variáveis em integrais triplas para escrever a integral em coordanadas esféricas. Mostre que o volume de uma esfera em , com raio é igual a .
Determine se a série converge ou diverge.