Determine se a série converge ou diverge.
40 sumn=1^infty tg 1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
40 sumn=1^infty tan ( 1n )
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas e à convergência delas. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar termos da série com outras séries conhecidas e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, olha só esse 40 que tá na frente da soma. Ele é uma constante multiplicando a série inteira. Uma coisa legal sobre séries é que multiplicar toda a série por uma constante não muda se ela converge ou diverge. Ou seja, podemos focar apenas na série:
sumn=1^infty tan ( 1n )
e no final, a conclusão sobre a convergência será a mesma para a série original com o 40.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da série: tan ( 1n ). Sabemos que para valores de x bem pequenos, como é o caso quando n é grande e 1/n é próximo de zero, a tangente de x pode ser aproximada por x. Ou seja:
tan(x) approx x quando x to 0
Então, para grandes valores de n, temos:
tan ( 1n ) approx 1n
Isso significa que os termos da nossa série estão se comportando de forma semelhante aos termos da série harmônica:
sumn=1^infty 1n

Passo 4

A série harmônica é uma famosa série que sabemos que diverge, ou seja, não soma para um valor finito. Já que nossa série original tem termos que são aproximadamente iguais aos da série harmônica para grandes n, podemos usar o Teste da Comparação para concluir algo sobre a nossa série.
O Teste da Comparação diz que se 0 <= an <= bn para todo n grande o suficiente, e sum bn diverge, então sum an também diverge. No nosso caso:
0 <= tan ( 1n ) approx 1n
E como sum 1n diverge, então nossa série sum tan ( 1n ) também diverge.

Resposta

A série
40 sumn=1^infty tan ( 1n )
diverge.

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