Considere a integral
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 d V
onde E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= raiz9-x^2, 0 <= y <= 3,0 <= z <= raiz9-x^2-y^2. Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! Temos uma integral tripla:
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 , dV
E a região E = (x, y, z) in R^3; 0 <= x <= raiz9-x^2, 0 <= y <= 3, 0 <= z <= raiz9-x^2-y^2 está definida por:
Queremos reescrever essa integral em coordenadas cartesianas, mas já está em cartesianas! Talvez a intenção seja expressar os limites de integração de forma mais clara ou verificar se está corretamente configurada. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Olhando para os limites:
A primeira desigualdade parece estranha porque está presente em ambos os lados. Vamos resolver isso para encontrar o intervalo de .

Passo 3

Vamos resolver x^2 <= 9 - x^2 :
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
2x^2 <= 9
Agora, somamos x^2 <= 92 em ambos os lados:
x <= raiz92 approx 2,1213
Dividindo por 2:
E tirando a raiz quadrada:
Então, varia de 0 até .

Passo 4

Agora, analisamos o limite para : . Isso é direto, varia de 0 a 3.
Para , temos . Isso representa a parte superior de uma esfera com raio 3, já que .

Passo 5

Agora que entendemos os limites, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cartesianas com esses limites atualizados:
integralx=0^raiz92 integraly=0^3 integralz=0^raiz9 - x^2 - y^2 z raizx^2 + y^2 + z^2 , dz , dy , dx

Resposta

A integral tripla em coordenadas cartesianas, com os limites corretamente estabelecidos, fica:
integral0^raiz92 integral0^3 integral0^raiz9 - x^2 - y^2 z raizx^2 + y^2 + z^2 , dz , dy , dx

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