Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! Temos uma integral tripla:
E a região está definida por:
Queremos reescrever essa integral em coordenadas cartesianas, mas já está em cartesianas! Talvez a intenção seja expressar os limites de integração de forma mais clara ou verificar se está corretamente configurada. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Olhando para os limites:
A primeira desigualdade parece estranha porque está presente em ambos os lados. Vamos resolver isso para encontrar o intervalo de .

Passo 3

Vamos resolver :
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Agora, somamos em ambos os lados:
Dividindo por 2:
E tirando a raiz quadrada:
Então, varia de 0 até .

Passo 4

Agora, analisamos o limite para : . Isso é direto, varia de 0 a 3.
Para , temos . Isso representa a parte superior de uma esfera com raio 3, já que .

Passo 5

Agora que entendemos os limites, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cartesianas com esses limites atualizados:

Resposta

A integral tripla em coordenadas cartesianas, com os limites corretamente estabelecidos, fica:

Exercícios relacionados

Determine o volume de cada uma das regiões: Região delimitada pleo cone e pelo parabolóide .
(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.
(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função , onde representa a pressão em um ponto .
(a) Determine a taxa de variação da pressão em na direção e sentido do vetor .
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.