Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! Temos uma integral tripla:
E a região
está definida por:
Queremos reescrever essa integral em coordenadas cartesianas, mas já está em cartesianas! Talvez a intenção seja expressar os limites de integração de forma mais clara ou verificar se está corretamente configurada. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Olhando para os limites:
A primeira desigualdade parece estranha porque
está presente em ambos os lados. Vamos resolver isso para encontrar o intervalo de
.
Passo 3
Vamos resolver
:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Agora, somamos
em ambos os lados:
Dividindo por 2:
E tirando a raiz quadrada:
Então,
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, analisamos o limite para
:
. Isso é direto,
varia de 0 a 3.
Para
, temos
. Isso representa a parte superior de uma esfera com raio 3, já que
.
Passo 5
Agora que entendemos os limites, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cartesianas com esses limites atualizados:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cartesianas, com os limites corretamente estabelecidos, fica:
Exercícios relacionados
Determine o volume de cada uma das regiões: Região
delimitada pleo cone
e pelo parabolóide
.
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
(3)
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.
(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em na direção e sentido do vetor
.
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.