Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! Temos uma integral tripla:
E a região
está definida por:
Queremos reescrever essa integral em coordenadas cartesianas, mas já está em cartesianas! Talvez a intenção seja expressar os limites de integração de forma mais clara ou verificar se está corretamente configurada. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Olhando para os limites:
A primeira desigualdade parece estranha porque
está presente em ambos os lados. Vamos resolver isso para encontrar o intervalo de
.
Passo 3
Vamos resolver
:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Agora, somamos
em ambos os lados:
Dividindo por 2:
E tirando a raiz quadrada:
Então,
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, analisamos o limite para
:
. Isso é direto,
varia de 0 a 3.
Para
, temos
. Isso representa a parte superior de uma esfera com raio 3, já que
.
Passo 5
Agora que entendemos os limites, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cartesianas com esses limites atualizados:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cartesianas, com os limites corretamente estabelecidos, fica: