(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em
na direção e sentido do vetor
.
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a pressão numa superfície:
. Temos que:
(a) Encontrar a taxa de variação dessa pressão no ponto (1,2) na direção e sentido do vetor
.
(b) Descobrir um vetor unitário na direção em que a pressão diminui mais rápido.
Vamos precisar usar o conceito de derivada direcional e gradiente para resolver essas partes. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação da pressão na direção de um vetor. Isso é basicamente a derivada direcional, que nos diz como a função muda quando nos movemos na direção especificada.
Para encontrar a derivada direcional, a gente precisa do gradiente da função
, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. O gradiente é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
:
Primeiro, calculamos
em
:
Então, substituindo
e
:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a taxa de variação na direção do vetor
.
Primeiro, vamos transformar
em um vetor unitário:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
A taxa de variação da pressão na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Resposta
A taxa de variação da pressão no ponto (1,2) na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8)
(8)