(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função , onde representa a pressão em um ponto .
(a) Determine a taxa de variação da pressão em na direção e sentido do vetor .
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a pressão numa superfície: . Temos que:
(a) Encontrar a taxa de variação dessa pressão no ponto (1,2) na direção e sentido do vetor .
(b) Descobrir um vetor unitário na direção em que a pressão diminui mais rápido.
Vamos precisar usar o conceito de derivada direcional e gradiente para resolver essas partes. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação da pressão na direção de um vetor. Isso é basicamente a derivada direcional, que nos diz como a função muda quando nos movemos na direção especificada.
Para encontrar a derivada direcional, a gente precisa do gradiente da função , que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. O gradiente é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico :
Primeiro, calculamos em :
Então, substituindo e :

Passo 5

Agora, precisamos determinar a taxa de variação na direção do vetor .
Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

A taxa de variação da pressão na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Resposta

A taxa de variação da pressão no ponto (1,2) na direção do vetor é .

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onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.
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onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
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onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.
(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8)