Considere a integral
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 d V
onde E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= raiz9-x^2, 0 <= y <= 3,0 <= z <= raiz9-x^2-y^2. Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que transformar uma integral tripla que está em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para escrever a integral
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 , dV
onde é definido por certos limites para , e . Para fazer essa transformação, vamos precisar entender como passar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, ajustar a integral e também adaptar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto é dada por x = r cos theta y = r sin theta z = z , onde:
  • dV = r , dr , dtheta , dz é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
As relações entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
Também precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é:

Passo 3

Agora, vamos substituir o integrando e os limites de integração para coordenadas cilíndicas. O integrando original é raizx^2+y^2+z^2 = raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 + z^2 = raizr^2 + z^2 .
Primeiro, substituímos z raizr^2 + z^2 e :
Então, o integrando em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 4

Agora, vamos ajustar os limites de integração. O conjunto 0 <= x <= raiz9 - x^2, 0 <= y <= 3, 0 <= z <= raiz9 - x^2 - y^2 é definido por:
Convertendo para coordenadas cilíndricas:
  1. Para e , varia de 0 até onde . Então, vai de 0 a 3.
  2. vai de 0 a para cobrir o primeiro quadrante onde e são positivos.
  3. Para , dado , que em coordenadas cilíndricas fica .

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^pi2 integral0^3 integral0^raiz9 - r^2 z raizr^2 + z^2 cdot r , dz , dr , dtheta

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é
integral0^pi2 integral0^3 integral0^raiz9 - r^2 z raizr^2 + z^2 cdot r , dz , dr , dtheta

Exercícios relacionados