Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que transformar uma integral tripla que está em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para escrever a integral
onde
é definido por certos limites para
,
e
. Para fazer essa transformação, vamos precisar entender como passar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, ajustar a integral e também adaptar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto é dada por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
As relações entre as coordenadas cartesianas
e cilíndricas
são:
Também precisamos lembrar do elemento de volume
em coordenadas cilíndricas, que é:
Passo 3
Agora, vamos substituir o integrando e os limites de integração para coordenadas cilíndicas. O integrando original é
.
Primeiro, substituímos
e
:
Então, o integrando em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 4
Agora, vamos ajustar os limites de integração. O conjunto
é definido por:
Convertendo para coordenadas cilíndricas:
- Para
e , varia de 0 até onde . Então, vai de 0 a 3. -
vai de 0 a para cobrir o primeiro quadrante onde e são positivos. - Para
, dado , que em coordenadas cilíndricas fica .
Passo 5
Finalmente, juntando tudo, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Resposta
A integral em coordenadas cilíndricas é
Exercícios relacionados
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Determine o volume de cada uma das regiões: Região
delimitada pleo cone
e pelo parabolóide
.
(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em na direção e sentido do vetor
.
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.