Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que transformar uma integral tripla que está em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para escrever a integral
onde é definido por certos limites para , e . Para fazer essa transformação, vamos precisar entender como passar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, ajustar a integral e também adaptar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto é dada por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
As relações entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
Também precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é:

Passo 3

Agora, vamos substituir o integrando e os limites de integração para coordenadas cilíndicas. O integrando original é .
Primeiro, substituímos e :
Então, o integrando em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 4

Agora, vamos ajustar os limites de integração. O conjunto é definido por:
Convertendo para coordenadas cilíndricas:
  1. Para e , varia de 0 até onde . Então, vai de 0 a 3.
  2. vai de 0 a para cobrir o primeiro quadrante onde e são positivos.
  3. Para , dado , que em coordenadas cilíndricas fica .

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, a integral em coordenadas cilíndricas fica:

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é

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Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Determine o volume de cada uma das regiões: Região delimitada pleo cone e pelo parabolóide .
(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função , onde representa a pressão em um ponto .
(a) Determine a taxa de variação da pressão em na direção e sentido do vetor .
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.