Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever uma integral tripla em coordenadas esféricas. O enunciado é:
onde
é a região definida por
,
e
. Vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como mudar os limites de integração e a expressão integranda para essa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo entre o eixo e o raio . -
: o ângulo no plano a partir do eixo .
As relações entre coordenadas cartesianas
e esféricas são:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Vamos transformar o integrando
para coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então, o integrando fica:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração na nova coordenada. A região
está definida por:
Observando isso, parece que estamos lidando com a parte do primeiro octante de uma esfera de raio 3 (já que
).
Em coordenadas esféricas:
-
varia de 0 a 3 (raio da esfera). -
varia de 0 a (pois ). -
varia de 0 a (pois e , primeiro octante).
Passo 5
Com tudo isso, podemos montar a integral em coordenadas esféricas. Lembrando que o integrando é
e o elemento de volume é
.
Então, a integral fica:
Simplificando:
Resposta
A integral em coordenadas esféricas é: