Considere a integral
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 d V
onde E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= raiz9-x^2, 0 <= y <= 3,0 <= z <= raiz9-x^2-y^2. Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever uma integral tripla em coordenadas esféricas. O enunciado é:
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 , dV
onde é a região definida por , e . Vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como mudar os limites de integração e a expressão integranda para essa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • x = rho sintheta cosphi : a distância do ponto até a origem.
  • y = rho sintheta sinphi : o ângulo entre o eixo z = rho costheta e o raio dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi .
  • : o ângulo no plano a partir do eixo .
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Vamos transformar o integrando z raizx^2+y^2+z^2 = rho costheta cdot rho = rho^2 costheta para coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então, o integrando fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração na nova coordenada. A região está definida por:
Observando isso, parece que estamos lidando com a parte do primeiro octante de uma esfera de raio 3 (já que ).
Em coordenadas esféricas:
  • varia de 0 a 3 (raio da esfera).
  • varia de 0 a (pois ).
  • varia de 0 a (pois e , primeiro octante).

Passo 5

Com tudo isso, podemos montar a integral em coordenadas esféricas. Lembrando que o integrando é integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 , dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^2 costheta cdot rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi e o elemento de volume é integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^4 costheta sintheta , drho , dtheta , dphi .
Então, a integral fica:
Simplificando:

Resposta

A integral em coordenadas esféricas é:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^4 costheta sintheta , drho , dtheta , dphi

Exercícios relacionados