(a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8) sumn=2^infty 1n(ln n)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que começa no n=2 e vai até o infinito, sendo a soma de . A pergunta é duas partes: primeiro, mostrar que a função que representa o termo geral dessa série atende às condições necessárias para usarmos o teste da integral. Segundo, usar esse teste para ver se a série converge (ou seja, tem soma finita) ou diverge. Então, vamos precisar entender o Teste da Integral e aplicar ele nessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. Aqui, a função é:
f(n) = 1n(ln n)^2
Para aplicar o Teste da Integral, precisamos que a função seja:
  1. Positiva: para todo .
  2. Contínua: Não tem interrupções no intervalo considerado.
  3. Decrescente: À medida que aumenta, diminui.
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

Positividade: Observando a função f'(x) = ddx ( 1x(ln x)^2 ) , sabemos que para f'(x) = -(ln x)^2 + 2ln xx^2 (ln x)^4 < 0 para x >= 2 , e . Assim, é positiva.
Continuidade: A função é contínua para porque o denominador nunca é zero nesse intervalo ( não pode ser zero para ).
Decrescente: Para provar que a função está sempre diminuindo, podemos derivar em relação a e verificar se a derivada é negativa.
Calculando a derivada:
Usando a regra do quociente e da cadeia:
Como a derivada é negativa, a função é decrescente.

Passo 4

Agora que verificamos que integral2^infty 1x(ln x)^2 , dx é positiva, contínua e decrescente para integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1ln x + C , podemos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que a série limb to infty ( -1ln b + 1ln 2 ) = 0 + 1ln 2 = 1ln 2 converge se e somente se a integral converge.
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então . Assim, a integral fica:
Agora, avaliamos os limites de integração:
Como a integral converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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