(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8)
(8)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que começa no n=2 e vai até o infinito, sendo a soma de
. A pergunta é duas partes: primeiro, mostrar que a função que representa o termo geral dessa série atende às condições necessárias para usarmos o teste da integral. Segundo, usar esse teste para ver se a série converge (ou seja, tem soma finita) ou diverge. Então, vamos precisar entender o Teste da Integral e aplicar ele nessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. Aqui, a função é:
Para aplicar o Teste da Integral, precisamos que a função
seja:
- Positiva:
para todo . - Contínua: Não tem interrupções no intervalo considerado.
- Decrescente: À medida que
aumenta, diminui.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
Positividade: Observando a função
, sabemos que para
,
e
. Assim,
é positiva.
Continuidade: A função é contínua para
porque o denominador nunca é zero nesse intervalo (
não pode ser zero para
).
Decrescente: Para provar que a função está sempre diminuindo, podemos derivar
em relação a
e verificar se a derivada é negativa.
Calculando a derivada:
Usando a regra do quociente e da cadeia:
Como a derivada é negativa, a função é decrescente.
Passo 4
Agora que verificamos que
é positiva, contínua e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que a série
converge se e somente se a integral
converge.
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
. Assim, a integral fica:
Agora, avaliamos os limites de integração:
Como a integral converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.
Exercícios relacionados
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.
(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em na direção e sentido do vetor
.
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
(a) Determine a taxa de variação da pressão em
(b) Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Considere a integral
onde
. Calcule a integral em (1).