Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
13 sumn=1^infty 1n^4+n^2+1

Passo 1

Neste exercício, vamos usar um teste de comparação para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, observe que o fator 13 multiplicando a série não afeta a convergência ou divergência dela. Isso porque, se uma série converge, então também converge para qualquer constante . Portanto, podemos focar na série sem nos preocupar com o 13.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão geral dos termos da série: . Para aplicar o Teste de Comparação, precisamos comparar essa série com outra série da qual já sabemos se converge ou diverge.

Passo 4

Observamos que, para todo n^4 + n^2 + 1 > n^4 , a expressão 1n^4 + n^2 + 1 < 1n^4 é maior que . Isso porque estamos adicionando termos positivos a . Então temos:
Invertendo ambas as partes da inequação (lembrando que, ao inverter, o sentido da desigualdade muda para frações positivas):

Passo 5

Conhecemos a série , que é uma série p com . Séries p convergem quando , então essa série específica converge.

Passo 6

Como cada termo da nossa série é menor que o correspondente termo da série convergente , pelo Teste de Comparação, podemos concluir que nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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