Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Neste exercício, vamos usar um teste de comparação para determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, observe que o fator 13 multiplicando a série não afeta a convergência ou divergência dela. Isso porque, se uma série
converge, então
também converge para qualquer constante
. Portanto, podemos focar na série
sem nos preocupar com o 13.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão geral dos termos da série:
. Para aplicar o Teste de Comparação, precisamos comparar essa série com outra série da qual já sabemos se converge ou diverge.
Passo 4
Observamos que, para todo
, a expressão
é maior que
. Isso porque estamos adicionando termos positivos a
. Então temos:
Invertendo ambas as partes da inequação (lembrando que, ao inverter, o sentido da desigualdade muda para frações positivas):
Passo 5
Conhecemos a série
, que é uma série p com
. Séries p convergem quando
, então essa série específica converge.
Passo 6
Como cada termo da nossa série
é menor que o correspondente termo da série convergente
, pelo Teste de Comparação, podemos concluir que nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8)
(8)
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.
Considere a integral
onde
. Calcule a integral em (1).
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.