Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Neste exercício, vamos usar um teste de comparação para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, observe que o fator 13 multiplicando a série não afeta a convergência ou divergência dela. Isso porque, se uma série converge, então também converge para qualquer constante . Portanto, podemos focar na série sem nos preocupar com o 13.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão geral dos termos da série: . Para aplicar o Teste de Comparação, precisamos comparar essa série com outra série da qual já sabemos se converge ou diverge.

Passo 4

Observamos que, para todo , a expressão é maior que . Isso porque estamos adicionando termos positivos a . Então temos:
Invertendo ambas as partes da inequação (lembrando que, ao inverter, o sentido da desigualdade muda para frações positivas):

Passo 5

Conhecemos a série , que é uma série p com . Séries p convergem quando , então essa série específica converge.

Passo 6

Como cada termo da nossa série é menor que o correspondente termo da série convergente , pelo Teste de Comparação, podemos concluir que nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8)
Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas esféricas.
Considere a integral
onde . Calcule a integral em (1).
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.