Considere a integral
onde . Calcule a integral em (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla, ou seja, uma integral que calcula o volume de uma função em três dimensões. A função que queremos integrar é , e a região de integração está definida por certos limites para , e . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariado, especialmente mudança de coordenadas para facilitar a resolução. Vamos dividir isso passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Os limites são:
Esse conjunto de desigualdades descreve uma parte do espaço tridimensional. Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde , , e . Nas coordenadas esféricas, a integral fica mais gerenciável quando lidamos com esferas ou partes delas.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração nas coordenadas esféricas:
  • O raio vai de 0 até 3, já que sugere uma esfera de raio 3.
  • O ângulo varia de 0 a porque é não negativo.
  • O ângulo varia de 0 a também, já que e são não negativos.
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:
Agora, vamos resolver as integrais uma por uma:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
(Aqui usamos a substituição , então ).
  1. Integral em :
Multiplicando todos os resultados:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8)
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.