Considere a integral
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 d V
onde E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= raiz9-x^2, 0 <= y <= 3,0 <= z <= raiz9-x^2-y^2. Calcule a integral em (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla, ou seja, uma integral que calcula o volume de uma função em três dimensões. A função que queremos integrar é , e a região de integração está definida por certos limites para , e . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariado, especialmente mudança de coordenadas para facilitar a resolução. Vamos dividir isso passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Os limites são:
Esse conjunto de desigualdades descreve uma parte do espaço tridimensional. Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde , , e . Nas coordenadas esféricas, a integral fica mais gerenciável quando lidamos com esferas ou partes delas.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração nas coordenadas esféricas:
  • O raio vai de 0 até 3, já que sugere uma esfera de raio 3.
  • O ângulo varia de 0 a porque é não negativo.
  • O ângulo varia de 0 a também, já que e são não negativos.
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas:
integral triplaE z raizx^2+y^2+z^2 , dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 (r cosphi) cdot r cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
= integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 r^4 cosphi sinphi , dr , dphi , dtheta
Agora, vamos resolver as integrais uma por uma:
  1. Integral em integral0^3 r^4 , dr = [ r^55 ]0^3 = 2435 :
integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi = 12
  1. Integral em ∫0^pi2 dtheta = pi2 :
2435 times 12 times pi2 = 243 pi20
(Aqui usamos a substituição , então ).
  1. Integral em :
Multiplicando todos os resultados:

Resposta

A integral vale .

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