Considere a integral
onde
. Calcule a integral em (1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla, ou seja, uma integral que calcula o volume de uma função em três dimensões. A função que queremos integrar é
, e a região de integração
está definida por certos limites para
,
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariado, especialmente mudança de coordenadas para facilitar a resolução. Vamos dividir isso passo a passo para facilitar o entendimento!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. Os limites são:
Esse conjunto de desigualdades descreve uma parte do espaço tridimensional. Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde
,
, e
. Nas coordenadas esféricas, a integral fica mais gerenciável quando lidamos com esferas ou partes delas.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração nas coordenadas esféricas:
- O raio
vai de 0 até 3, já que sugere uma esfera de raio 3. - O ângulo
varia de 0 a porque é não negativo. - O ângulo
varia de 0 a também, já que e são não negativos.
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:
Agora, vamos resolver as integrais uma por uma:
- Integral em
:
- Integral em
:
(Aqui usamos a substituição
, então
).
- Integral em
:
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(8)
(8)
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.