Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita, que é uma soma que vai até o infinito, do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste de Comparação de Limites, que ajuda a determinar se uma série converge (a soma chega a um número finito) ou diverge (a soma cresce sem limites). Para isso, vamos precisar comparar a nossa série com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

O próximo passo é identificar uma série com a qual possamos comparar. Olhando para a nossa série:
Perceba que, para valores grandes de , se torna quase insignificante comparado a . Então, a expressão fica aproximadamente:
Isso nos sugere que podemos comparar com a série p:
Onde sabemos que a série converge se e diverge se .

Passo 3

Vamos escolher a série comparadora como:
Essa é uma série p com . Como , sabemos que essa série diverge.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste de Comparação de Limites. Calculamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
Simplificando a expressão:

Passo 5

O limite que encontramos é , que é um número finito e positivo. Segundo o Teste de Comparação de Limites, se o limite é um número positivo finito e a série comparadora diverge, então a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Considere a integral
onde . Calcule a integral em (1).
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.