Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar um teste básico de comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, vamos comparar essa série com uma que já sabemos se ela soma ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . A é a função arco-tangente, que para valores grandes de se aproxima de . Ou seja, conforme aumenta, .

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série: . Como está se aproximando de , o termo está ficando parecido com .

Passo 4

A gente sabe que a série é a série harmônica, que diverge. Isso significa que ela não soma para um número finito.

Passo 5

Agora, usando o teste de comparação, comparamos com . Como para algum constante quando é grande, e sabemos que diverge, então nossa série original também diverge.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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Considere a integral
onde . Calcule a integral em (1).
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.