Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar um teste básico de comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Basicamente, vamos comparar essa série com uma que já sabemos se ela soma ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função
. A
é a função arco-tangente, que para valores grandes de
se aproxima de
. Ou seja, conforme
aumenta,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
. Como
está se aproximando de
, o termo
está ficando parecido com
.
Passo 4
A gente sabe que a série
é a série harmônica, que diverge. Isso significa que ela não soma para um número finito.
Passo 5
Agora, usando o teste de comparação, comparamos
com
. Como
para algum constante
quando
é grande, e sabemos que
diverge, então nossa série original também diverge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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Considere a integral
onde
. Calcule a integral em (1).
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
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