Considere a integral:
onde
é a região definida por
e
.
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla
usando coordenadas cilíndricas. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A região
é uma parte da esfera de raio 3 (
), mas com algumas restrições:
e
. Isso significa que estamos olhando para um oitante específico da esfera. Para resolver a integral, vamos precisar converter tudo para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, os pontos são representados por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a mesma coordenada em coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas. Sabendo que
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
- Para
: Como e está limitado pela esfera , temos:
- Para
: A maior distância pode ter é quando , então:
- Para
: Como , isso significa que varia de a ou de a dependendo da convenção. Vamos usar:
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo junto na integral:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro. A integral interna é:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos simplificar e separar as integrais:
Primeiro, a integral em
:
Então, temos:
Passo 8
Agora, vamos integrar em
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Se
.
(a) Calcule e
;
(a) Calcule
Escreva a integral
em coordenadas esféricas e calcule.
Mostre que a função definida por
é diferenciável para todo
, mas não é de classe
em
.
Mostre que para uma função
ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que
.