Considere a integral:
integral triplaW y z d v
onde W é a região definida por z^2+y^2+x^2 <= 9, x >= 0 e z >= 0.
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A região é uma parte da esfera de raio 3 ( ), mas com algumas restrições: e . Isso significa que estamos olhando para um oitante específico da esfera. Para resolver a integral, vamos precisar converter tudo para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, os pontos são representados por x = r cos theta, y = r sin theta, z = z , onde:
  • dv = r , dr , dtheta , dz é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a mesma coordenada em coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função y z = r sin theta cdot z em coordenadas cilíndricas. Sabendo que integral triplaW r sin theta cdot z cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaW r^2 sin theta cdot z , dr , dtheta , dz , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para 0 <= z <= raiz9 - r^2 , 0 <= r <= 3 e 0 <= theta <= pi :
  • Para : Como e está limitado pela esfera , temos:
  • Para : A maior distância pode ter é quando , então:
  • Para : Como , isso significa que varia de a ou de a dependendo da convenção. Vamos usar:

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo junto na integral:
integral0^pi integral0^3 integral0^raiz9 - r^2 r^2 sin theta cdot z , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^raiz9 - r^2 z , dz = [ z^22 ]0^raiz9 - r^2 = (9 - r^2)2 primeiro. A integral interna é:
integral0^pi integral0^3 r^2 sin theta cdot 9 - r^22 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos simplificar e separar as integrais:
12 integral0^pi sin theta , dtheta cdot integral0^3 r^2 (9 - r^2) , dr
Primeiro, a integral em integral0^pi sin theta , dtheta = [ -cos theta ]0^pi = -cos pi + cos 0 = 2 :
12 cdot 2 cdot integral0^3 (9 r^2 - r^4) , dr = integral0^3 (9 r^2 - r^4) , dr
Então, temos:

Passo 8

Agora, vamos integrar em integral0^3 9 r^2 , dr = 9 [ r^33 ]0^3 = 9 cdot 273 = 81 :
integral0^3 r^4 , dr = [ r^55 ]0^3 = 2435
81 - 2435 = 4055 - 2435 = 1625
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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