Considere a integral:
onde é a região definida por e .
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A região é uma parte da esfera de raio 3 ( ), mas com algumas restrições: e . Isso significa que estamos olhando para um oitante específico da esfera. Para resolver a integral, vamos precisar converter tudo para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, os pontos são representados por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a mesma coordenada em coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas. Sabendo que , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
  • Para : Como e está limitado pela esfera , temos:
  • Para : A maior distância pode ter é quando , então:
  • Para : Como , isso significa que varia de a ou de a dependendo da convenção. Vamos usar:

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo junto na integral:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro. A integral interna é:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos simplificar e separar as integrais:
Primeiro, a integral em :
Então, temos:

Passo 8

Agora, vamos integrar em :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Se .
(a) Calcule e ;
Escreva a integral
em coordenadas esféricas e calcule.
Mostre que a função definida por
é diferenciável para todo , mas não é de classe em .
Mostre que para uma função ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que .