Mostre que a função definida por
é diferenciável para todo
, mas não é de classe
em
.
Passo 1
Beleza! Temos uma função definida por partes:
O exercício pede para mostrar que essa função é diferenciável para todo
, mas que não é de classe
em
. Isso envolve conceitos de derivadas e continuidade das derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função para
e verificar a derivabilidade em
. Depois, vamos analisar se a derivada é contínua em
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
para
. A função é . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e .
Calculando as derivadas:
Então, a derivada de
para
é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, ou seja, a derivada da função no ponto
. Para isso, usamos a definição de derivada:
Sabemos que
, então:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
À medida que
tende a 0,
também tende a 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich), o limite de é 0.
Portanto,
.
Passo 4
Agora que temos a derivada para todo
:
Vamos verificar se
é contínua em
. Para isso, precisamos ver se:
Sabemos que
. Vamos calcular o limite de
quando
tende a 0.
Vamos analisar cada termo separadamente:
-
Similarmente ao passo anterior, está entre -1 e 1, então:Portanto, pelo Teorema do Confronto, .
-
Aqui,
oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum valor específico quando tende a 0. Assim, esse limite não existe, pois a função não se estabiliza em nenhum número.
Passo 5
Como o segundo termo
não existe, o limite total de
quando
tende a 0 também não existe. Isso significa que
não é contínua em
.
Resposta
A função
é diferenciável para todo
, mas não é de classe
em
porque a derivada
não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Considere a integral:
onde
é a região definida por
e
.
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
Se
.
(a) Calcule e
;
(a) Calcule
Mostre que para uma função
ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que
.
Determine as derivadas parciais indicadas.
.