Mostre que a função definida por
f(x)=cc x^2 sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0
é diferenciável para todo x, mas não é de classe C^1 em x=0.

Passo 1

Beleza! Temos uma função definida por partes:
O exercício pede para mostrar que essa função é diferenciável para todo f(x)=cc x^2 sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0 , mas que não é de classe em . Isso envolve conceitos de derivadas e continuidade das derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função para e verificar a derivabilidade em . Depois, vamos analisar se a derivada é contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x sen(1x) + x^2 (-cos(1x)x^2) = 2x sen(1x) - cos(1x) para . A função é . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então, a derivada de para é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular f'(0) = limh to 0 f(h) - f(0)h , ou seja, a derivada da função no ponto f'(0) = limh to 0 f(h)h = limh to 0 h^2 sen(1h)h = limh to 0 h sen(1h) . Para isso, usamos a definição de derivada:
- |h| <= h sen(1h) <= |h|
Sabemos que , então:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
À medida que tende a 0, também tende a 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich), o limite de é 0.
Portanto, .

Passo 4

Agora que temos a derivada para todo f'(x) = cc 2x sen(1x) - cos(1x), & se x neq 0 0, & se x=0 :
Vamos verificar se limx to 0 f'(x) = f'(0) é contínua em limx to 0 [2x sen(1x) - cos(1x)] . Para isso, precisamos ver se:
-2|x| <= 2x sen(1x) <= 2|x|
Sabemos que . Vamos calcular o limite de quando tende a 0.
Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. Similarmente ao passo anterior, está entre -1 e 1, então:
    Portanto, pelo Teorema do Confronto, .
  2. Aqui, oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum valor específico quando tende a 0. Assim, esse limite não existe, pois a função não se estabiliza em nenhum número.

Passo 5

Como o segundo termo não existe, o limite total de quando tende a 0 também não existe. Isso significa que não é contínua em .

Resposta

A função é diferenciável para todo , mas não é de classe em porque a derivada não é contínua nesse ponto.

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