Mostre que a função definida por
é diferenciável para todo , mas não é de classe em .

Passo 1

Beleza! Temos uma função definida por partes:
O exercício pede para mostrar que essa função é diferenciável para todo , mas que não é de classe em . Isso envolve conceitos de derivadas e continuidade das derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função para e verificar a derivabilidade em . Depois, vamos analisar se a derivada é contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de para . A função é . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então, a derivada de para é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular , ou seja, a derivada da função no ponto . Para isso, usamos a definição de derivada:
Sabemos que , então:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
À medida que tende a 0, também tende a 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich), o limite de é 0.
Portanto, .

Passo 4

Agora que temos a derivada para todo :
Vamos verificar se é contínua em . Para isso, precisamos ver se:
Sabemos que . Vamos calcular o limite de quando tende a 0.
Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. Similarmente ao passo anterior, está entre -1 e 1, então:
    Portanto, pelo Teorema do Confronto, .
  2. Aqui, oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum valor específico quando tende a 0. Assim, esse limite não existe, pois a função não se estabiliza em nenhum número.

Passo 5

Como o segundo termo não existe, o limite total de quando tende a 0 também não existe. Isso significa que não é contínua em .

Resposta

A função é diferenciável para todo , mas não é de classe em porque a derivada não é contínua nesse ponto.

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Considere a integral:
onde é a região definida por e .
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
Se .
(a) Calcule e ;
Mostre que para uma função ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que .
Determine as derivadas parciais indicadas.
.