Se f(x, y) = { (x^2 * y^2 + x * y) / (x + y), se x ≠ -y; 0, se x = -y }.
(a) Calcule f_x(x, 0) e fy(0, y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de e . Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra é mantida constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Para calcular e , precisamos derivar em relação a e , respectivamente, mantendo a outra variável igual a zero ou a uma constante.

Passo 3

Vamos começar calculando , ou seja, a derivada parcial de em relação a quando .
Primeiro, substituímos na função:
E, se , também.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Então, para qualquer valor de , .

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a quando .
Primeiro, substituímos na função:
E, se , .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a :
Portanto, para qualquer valor de , .

Resposta

As derivadas parciais são:

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